Mesmo com o maquinário desenvolvido até o momento, não temos uma maneira fácil de resolver o limite

\[\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sen(x)}{x}\]

Nosso objetivo agora é resolver tal limite. Para isso, vamos usar alguns resultados:

• A função $f(x) = \frac{\sen(x)}{x}$ é par - isto é, $f(-x) = f(x)$ para todo $x$ de seu domínio (note que o domínio é $\mathbb R_{\neq 0}$).
• $\lim\limits_{x \to 0} \cos(x) = 1$.
• Também vamos precisar de uma fórmula para $A(x)$, onde $A(x)$ é a área da fatia do círculo de raio $r$ quando se percorreu $x$ em sua borda. Para deduzir essa fórmula, precisamos usar o fato que a área total da circunferência é $\pi r^2$ (veremos uma justificativa para isso posteriormente). Além disso, intuitivamente, temos que $A(x) = kx$, onde $k$ é alguma constante. Para descobrir qual o $k$, usamos o valor que conhecemos, que ocorre quando $x = 2\pi r$. Isto é, $A(2\pi r) = \pi r^2$. Assim $k2\pi r = \pi r^2$. Portanto, $k = \frac{r}{2}$ e, assim, $A(x) = \frac{rx}{2}$.

Com tudo isso, podemos finalmente mostrar o resultado (conhecido como limite fundamental):

Proposição $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1$.

Dem.: Como a função $\frac{\sen(x)}{x}$ é par, podemos apenas calcular $\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\sen(x)}{x}$.

Observando a figura, temos que \[t(x) \leq A(x) \leq T(x)\] onde $t(x)$ é a área do triângulo $ABD$ e $T(x)$ é a área do triângulo $ABC$. Vamos calcular a área destes dois triângulos, usando a fórmula com relação à base no lado paralelo ao eixo $x$. Note que a altura de $ABD$ é $\sen(x)$. Já a altura de $ABC$ é $\frac{\sen(x)}{\cos(x)}$. Assim

\[\frac{\sen(x)}{2} \leq \frac{x}{2} \leq \frac{\frac{\sen(x)}{\cos(x)}}{2}.\]

Ou seja, $\sen(x) \leq x \leq \frac{\sen(x)}{\cos(x)}$. Dividindo por $\sen(x)$ e invertendo: \[1 \geq \frac{\sen(x)}{x} \geq \cos(x)\] Finalmente, obtemos o resultado pelo Teorema do Sanduíche.

$\square$

Exemplo Calcule $\lim_\limits{x \to 0} \frac{x + \sen x}{x}$.

\[\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x \to 0} \frac{x + \sen x}{x} & = & \lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{x} + \frac{\sen x}{x}\\ & = & 1 + 1\\ & = & 2 \end{array}\]

Exemplo Calcule $\lim\limits_{x \to 0} \frac{x^2 - \sen(x)}{\cos(x) x}$.

\[\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x \to 0} \frac{x^2 - \sen(x)}{\cos(x) x} & = &\lim\limits_{x \to 0} \frac{x(x - \frac{\sen(x)}{x})}{\cos(x) x} \\ & = & \lim\limits_{x \to 0} \frac{x - \frac{\sen(x)}{x}}{\cos(x)}\\ & = & -1 \end{array}\]