Exemplo Com o que já temos sobre limites, é imediato notar que funções como $\sen$, $\cos$ e polinômios são contínuas.

Exemplo \[f(x) = \begin{cases} 1 & \mbox{se } x \geq 0\\ -1 & \mbox{se } x < 0\\ \end{cases}\] Não é contínua no ponto $0$, já que o limite não existe em tal ponto.

8 Verifique que a seguinte função é contínua: \[f(x) = \begin{cases} \frac{sen(x)}{x} & \mbox{se $x > 0$}
x + 1 & \mbox{se $x \leq 0$}
\end{cases}\]

O próximo resultado é imediato a partir dos resultados que já temos sobre limites:

Proposição Sejam $f, g$ funções contínuas no ponto $a$. Então

• $f + g$ é contínua em $a$;
• $f \cdot g$ é contínua em $a$;
• se $g(a) \neq 0$, $\frac{f}{g}$ é contínua em $a$.

Dem.: Vamos fazer o primeiro item como exemplo. Note que $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ e que $\lim\limits_{x \to a} g(x) = g(a)$. Assim, $\lim\limits_{x \to a} f(x) + g(x) = f(a) + g(a)$.

$\square$

Exemplo A função $f(x) = \frac{1}{x}$ é contínua - note que, apesar de não existir o limite em $0$, esse ponto não está no domínio de $f$.

Exemplo Agora considere a função \[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & \mbox{se } x \neq 0\\ 0 & \mbox{caso contrário}\\ \end{cases}\] Essa função não é contínua, pois não é contínua no ponto $0$.

Finalmente, o próximo resultado nada mais é que uma tradução do que já fizemos anteriormente aqui:

Proposição Sejam $f$ e $g$ funções reais. Se $g$ é contínua em $a$ e $f$ é contínua em $g(a)$, então $f \circ g$ é contínua em $a$.

Com tudo isso, é simples notar que:

Exemplo $\sen(x^2 + \cos(x) - 2)$ é contínua.

9 Mostre que a função $f(x) = |x|$ é contínua.

10 Mostre que $f$ é contínua num ponto $x \in \dom(f)$ se, e somente, para todo $\varepsilon > 0$, existe $\delta > 0$ tal que para todo $z \in \dom(f)$, $|z - x| < \delta \Rightarrow |f(z) - f(x)| < \varepsilon$.