Estamos sendo um pouco relaxados sobre como deve ser o domínio de cada função para se definir o limite. Fizemos isso para manter o foco na parte mais importante. Mas agora vamos discutir um pouco esse aspecto.
Quando definimos o limite de uma função num ponto $a$, temos alguns aspectos a serem levados em conta:
Esse segundo ponto merece ser mais detalhado. Se não houver pontos próximos no domínio da função, podemos ter a condição de “ser limite” satisfeita por vacuidade - e este definitivamente não é o caso que estamos interessados. Já o terceiro ponto é relativamente simples: para cada $\varepsilon$ tomado, se temos que $\delta$ satisfaz a definição, qualquer $\delta' < \delta$ também vai satisfazer. Tente olhar alguns casos concretos para notar que, de fato, os pontos “distantes” de $a$ não influenciam no cálculo do limite.
Tentando juntar essas informações, uma convenção é só se discutir se o limite existe ou não num ponto $a$ nos seguintes casos:
Note que o último caso é consequência dos anteriores se usarmos a ideia que o limite existe se, e somente se, os limites laterais existem.
8 Faça um desenho de cada um dos casos acima.
Formalmente, daria para discutir a existência do limite até mesmo em casos mais gerais. Por exemplo, poderíamos discutir $\lim\limits_{x \to a^+} f(x)$ se $\inf($dom$(f) \cap ]a, +\infty[) = a$. Mas, no geral, vamos trabalhar com as condições expostas anteriormente.
Para tentar dar mais atenção às partes mais importantes, em geral não vamos discutir sobre os domínios nos enunciados, mas é bom ter mais ou menos claro o conceito apresentado aqui.
9 Considere $f$ cujo domínio é $[1, 2[ \cup [3, 5]$. Com a discussão feita acima, sobre quais limites faz sentido se discutir?
9.1 $\lim\limits_{x \to 1^+} f(x)$
9.2 $\lim\limits_{x \to 1^-} f(x)$
9.3 $\lim\limits_{x \to \frac{3}{2}} f(x)$
9.4 $\lim\limits_{x \to 3^-} f(x)$
9.5 $\lim\limits_{x \to 5^-} f(x)$
Alguns autores adotam que a definição de limite para uma função como a acima no ponto $1$ é a mesma que a definição de limite pela direita no ponto $1$ - já que é a única que faz algum sentido. Não vamos adotar essa convenção aqui.