Cálculo

Considere $f: \mathbb R \to \mathbb R$ dada por $f(x) = 2x$. Vamos mostrar $\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 6$. Antes de resolvermos de verdade, vamos tentar procurar soluções com casos numéricos. Suponha que nos seja exigido um erro de, no máximo, $2$ para o resultado final. Vamos ver o que acontece com um erro de $2$ para a entrada também. Repare que $4$ é um valor válido na entrada, já que $0 < |3 - 4| = 1 < 2$ (ou seja, está dentro do erro). Mas, como resposta, temos $|2 \cdot 4 - 6| = 2 \not < 2$. Ou seja, tal entrada não dá uma resposta dentro do erro desejado. Assim, vamos melhorar a nossa exigência quanto ao erro de entrada. Digamos, vamos exigir um erro de no máximo $1$. Vejamos como fica a resposta, lembrando que estamos exigindo que $|3 - x| < 1$ (que é o nosso erro de entrada):

\[\begin{array}{rcl} |6 - f(x)| & = & |6 - 2x|\\ & = & |2(3 - x)|\\ & = & 2|3 - x|\\ & < & 2 \cdot 1\\ & = & 2\\ \end{array}\]

Ou seja, estamos dentro do erro. Vamos agora tentar o caso geral. Isto é, nos dão uma tolerância de $\varepsilon > 0$ para o erro do final e temos que encontrar uma tolerância $\delta$ para o erro da entrada. Ou seja, precisamos encontrar $\delta > 0$ que satisfaça \[0 < |3 - x| < \delta \Rightarrow |6 - f(x)| < \varepsilon\]

Vamos ver que se tomarmos $\delta = \frac{\varepsilon}{2}$, tudo funciona. Seja $x \in \mathbb R$ tal que $|3 - x| < \delta$. Temos: \[\begin{array}{rcl} |6 - f(x)| & = & |6 - 2x|\\ & = & |2(3 - x)|\\ & = & 2|3 - x|\\ & < & 2 \delta\\ & = & 2 \frac{\varepsilon}{2}\\ & = & \varepsilon \end{array}\]

Considere $f: \mathbb R \to \mathbb R$ dada por $f(x) = c$. Vamos mostrar que $\lim\limits_{x \to 5} = c$. Começamos com o nosso jogo: alguém nos dá um $\varepsilon > 0$. Precisamos encontrar $\delta > 0$ que satisfaça \[|5 - x| < \delta \Rightarrow |c - f(x)| < \varepsilon\]

Vamos ver que, ao nos darem $\varepsilon > 0$, se tomarmos $\delta = \varepsilon$, tudo funciona. Seja $x \in \mathbb R$ tal que $|5 - x| < \delta$. Temos: \[|5 - f(x)| = |c - c| = 0 < \varepsilon\] Note que, na verdade, nesse caso, qualquer $\delta > 0$ que tomássemos funcionaria.

Na verdade, note também que o ponto $5$ que tomamos, não faz muita diferença. De fato, vamos provar que $\lim\limits_{x \to a} = c$ para qualquer $a \in \mathbb R$: alguém nos dá um $\varepsilon > 0$. Precisamos encontrar $\delta > 0$ que satisfaça \[|a - x| < \delta \Rightarrow |c - f(x)| < \varepsilon\] Novamente, vamos tomar $\delta = \varepsilon$. Para ver que tal $\delta$ funciona, seja $x \in \mathbb R$ tal que $|a - x| < \delta$. Temos: \[|c - f(x)| = |c - c| = 0 < \varepsilon\]

Considere $f: \mathbb R \to \mathbb R$ dada por $f(x) = 1$, se $x \geq 0$ e $f(x) = -1$, se $x < 0$.

Vamos ver que não existe $k$ tal que $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = k$. Suponha que exista tal $k$. Considere $\varepsilon = \frac{1}{2}$. Seja $\delta > 0$ tal que $|0 - x| < \delta \Rightarrow |k - f(x)| < \frac{1}{2}$. Sejam $x_1, x_2$ tais que $0 < |0 - x_1|, |0 - x_2| < \delta$ e $x_1 > 0$ e $x_2 < 0$. Assim: \[ \begin{array}{rcl} |f(x_1) - f(x_2)| & \leq & |f(x_1) - k + k - f(x_2)|\\ & \leq & |f(x_1) - k| + |f(x_2) - k|\\ & < & \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\\ & = & 1 \end{array}\] Mas isso é uma contradição com o fato que $f(x_1) - f(x_2) = 1 - (-1) = 2$.

Considere $f: \mathbb R \to \mathbb R$ dada por $f(x) = 3x - 1$. Vamos mostrar que $\lim_{x \to 5} = 14$. Seja $\varepsilon > 0$. Considere $\delta = \frac{\varepsilon}{3}$. Seja $x \in \mathbb R$ tal que $0 < |x - 5| < \delta$. Temos:

\[\begin{array}{rcl} |(3x - 1) - 14| & = & |3x - 15|\\ & = & 3|x - 5|\\ & < & 3 \delta\\ & = & 3 \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon \end{array}\]

7 Mostre, pela definição, que valem os seguintes limites:

7.1 $\lim\limits_{x \to 4} 3x + 5 = 17$

7.2 $\lim\limits_{x \to 1} x = 1$