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Teorema do valor médio (para integrais)
Teorema (valor médio para integrais) Sejam $f: [a, b] \to \mathbb R$ contínua. Então existe $c \in ]a, b[$ tal que \[\int_a^b f(x)dx = f(c)(b - a).\]
Dem.: Seja $F$ uma primitiva de $f$. Então $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$. Pelo Teorema do valor médio, temos que $F(b) - F(a) = F'(c)(b - a)$ para algum $c \in ]a, b[$. Lembrando que $F'(x) = f(x)$, temos $\int_a^b f(x) = f(c)(b - a)$.$\square$
Pensando que $\frac{1}{b -a} \int_a^b f(x) dx$ é a média da função no intervalo $[a, b]$, esse resultado apresenta que a média é de fato atingida em algum ponto pela função $f$.
Um erro muito comum é afirmar que, se $\int_a^b f(x)dx = 0$, então a função é igual a $0$ em $[a, b]$. Apesar disso não ser verdade, o resultado acima indica que, pelo menos para um ponto, a função é nula.
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