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Integrais impróprias II
Um erro comum é o seguinte: $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx = (-\frac{1}{x})|_{-1}^1 = -2$. Qual é o erro?
Por enquanto, só trabalhamos com integrais de funções limitadas (pois contínuas num intervalo fechado). Mas ainda assim podemos tentar calcular em pontos de ilimitação:
Seja $f: [a, b[ \to \mathbb R$ contínua. Se $f$ é integrável em $[a, c]$ para todo $c$ tal que $a < c < b$, então definimos \[\int_a^b f(x) dx = \lim\limits_{t \to b^-} \int_a^t f(x) dx\] se tal limite existir. A definição é análoga para $]a, b]$.
Exemplo Considere $f(x) = \frac{1}{x}$. Temos $\int_0^1 \frac{1}{x}dx = \lim\limits_{t \to 0^+} \int_t^1 \frac{1}{x}dx = \lim\limits_{t \to 0^+} (\ln 1 - \ln t) = +\infty$.
Exemplo Considere $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Temos que $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx = \lim\limits_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-\frac{1}{2}} dx = \lim\limits_{t \to 0^+} (2x^{\frac{1}{2}})|_t^1 = \lim\limits_{t \to 0^+} 2 (1 - t^{\frac{1}{2}}) = 2$.
1 Para $p > 0$, determine $\int_0^1 \frac{1}{x^p} dx$. Atenção, você vai ter que quebrar em alguns casos. Olhe aqui para se inspirar.
Definimos $\int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx$ se, para qualquer $a \in \mathbb R$, temos que $\int_{-\infty}^a f(x)dx$ e $\int_a^{+\infty}f(x) dx$ forem convergentes. Neste caso \[\int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx = \int_{-\infty}^a f(x)dx + \int_a^{+\infty}f(x) dx\]
Cuidado, a definição anterior não é o limite de $\int_{-t}^t f(x)dx$.
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