Exemplo \[\int_0^{+\infty} e^{-x}dx = \lim\limits_{t \to +\infty} \int_0^t e^{-x}dx = \lim\limits_{t \to +\infty} (-e^{-x})|_0^t = \lim\limits_{t \to +\infty} (1 - e^{-t}) = 1.\]

Exemplo Se $r \neq 0$, temos que \[\int_0^{+\infty} e^{rx}dx = \lim\limits_{t \to +\infty} \frac{1}{r}(e^{rt} -1).\] Assim, temos que se $r < 0$, tal integral converge para $\frac{-1}{r}$. Se $r > 0$, temos que tal integral vale $+\infty$. O caso $r = 0$ fazemos separadamente: \[\int_0^{+\infty} e^0dx = \lim\limits_{t \to +\infty} t - 0 = +\infty.\]

Exemplo $\int_0^{+\infty} \sen x dx = \lim\limits_{0 \to +\infty} \cos 0 - \cos t$. Logo, tal integral diverge.

Exemplo $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \lim\limits_{t \to +\infty} \ln t - \ln 1 = +\infty$

Exemplo Se $p > 0$ e $p \neq 1$, temos \[\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}dx = \lim\limits_{t \to +\infty} (\frac{1}{1 - p} x^{1 - p})|_1^t = \lim\limits_{t \to +\infty} \frac{1}{1 - p} t^{1 - p} - \frac{1}{1 - p}.\] Assim, se $p > 1$, temos que $1 - p < 0$, logo a integral converge para $\frac{1}{p - 1}$. Se $p < 1$, $1 - p > 0$. Logo a integral vale $+\infty$.

Juntando os dois resultados anteriores, temos que

Proposição Para $p > 0$

\[\int_1^{+ \infty} \frac{1}{x^p} dx= \begin{cases} \frac{1}{p - 1} & \mbox{se } p > 1\\ +\infty & \mbox{se } p \leq 1\\ \end{cases}\]

6 Esse é um exercício bacana que mistura algumas coisas que fizemos.

6.1 Calcule $\int_a^b xe^{-x}dx$.

6.2 Calcule $\int_0^{+\infty} xe^{-x}dx$.

6.3 Para $n > 1$, calcule $\int_0^{+\infty} x^n e^{-x}dx$.

Pelo que desenvolvemos sobre limites, temos que:

Proposição Sejam $f, g: [a, +\infty[$ integraveis em qualquer intervalo $[a, b]$. Se $0 \leq f(x) \leq g(x)$, então se $\int_a^{+\infty} f(x) = +\infty$, então $\int_a^{+\infty} g(x) = +\infty$. Se $\int_a^{+\infty} g(x) = L \in \mathbb R$, então $\int_a^{+\infty} f(x) \leq L$.