Segue da definição de integral e da notação acima que:

Proposição Sejam $a, b, c \in I$, não importando qual a ordem entre eles. Então \[\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx\]

Vamos usar as seguintes propriedades de integrais - elas valem basicamente pois suas versões análogas para as somas parciais valem:

Proposição Sejam $f, g : I \to \mathbb R$ integráveis e $a < b$. Então

• $\int_a^b f(x)dx + \int_a^b g(x) dx = \int_a^b f(x) + g(x)dx$;
• $\int_a^b k f(x)dx = k \int_a^b f(x)$ para $k \in \mathbb R$;
• $|\int_a^b f(x) dx| \leq \int_a^b|f(x)|dx$;
• se $f(x) \leq g(x)$ para todo $x$, $\int_a^b f(x) \leq \int_a^b g(x)$.

Teorema (Fundamental do Cálculo) Seja $I$ um intervalo fechado, limitado e que não seja apenas um ponto. Sejam $f: I \to \mathbb R$ uma função contínua e $F: I \to \mathbb R$ uma função. Então as seguintes afirmações são equivalentes:

• Existe $a \in I$ tal que $F(x) = F(a) + \int_a^x f(t)dt$ para qualquer $x \in I$;
• $F$ é diferenciável e $F'(x) = f(x)$ para todo $x$ no interior de $I$.

Dem.: Vamos começar supondo a primeira afirmação. Seja $x$ no interior de $I$. Seja $h$ de forma que $x + h$ também esteja no interior de $I$. Temos \[\begin{array}{rcl} \frac{F(x + h) - F(x)}{h} - f(x) & = & \frac{1}{h}(F(a) + \int_a^{x + h}f(t)dt) - \frac{1}{h} (F(a) + \int_a^x f(t) dt) - f(x)\\ & = & \frac{1}{h}(F(a) - \int_{x + h}^a f(t)dt) - \frac{1}{h} (F(a) + \int_a^x f(t) dt) - f(x)\\ & = & \frac{1}{h} \int_x^{x + h} f(t)dt - f(x)\\ & = & \frac{1}{h} \int_x^{x + h} f(t)dt - \frac{1}{h} hf(x)\\ & = & \frac{1}{h} \int_x^{x + h} f(t)dt - \frac{1}{h}\int_x^{x + h} 1dt f(x)\\ & = & \frac{1}{h} \int_x^{x + h} f(t)dt - \frac{1}{h}\int_x^{x + h} f(x)dt\\ & = & \frac{1}{h} \int_x^{x + h} f(t) - f(x)dt \end{array}\]

Seja $\varepsilon > 0$. Como $f$ é contínua, existe $\delta > 0$ tal que, se $|h| < \delta$, então $|f(x + h) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{2}$.

Assim, tomando $h$ de forma que $|h| < \delta$ e $x + h$ esteja no interior de $I$, temos que \[|\frac{F(x + h) - F(x)}{h} - f(x)| \leq \frac{1}{|h|}|\int_x^{x + h}|f(t) - f(x)|dt| \leq \frac{1}{|h|} |\int_x^{x + h} \frac{\varepsilon}{2} dx| = \frac{1}{|h|}|h| \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon\] Ou seja, $F'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{F(x + h) - F(x)}{h} = f(x)$. Isso termina a primeira implicação.

Agora vejamos que a segunda afirmação implica a primeira. Seja $G(x) = \int_a^x f(t)dt$ para $x \in I$. Pela parte anterior, temos que $G'(x) = f(x)$ para qualquer $x$ no interior de $I$. Assim, $(F(x) - G(x))' = f(x) - f(x) = 0$. Logo, $F$ e $G$ diferem por uma constante. Note que $G(a) = 0$. Assim, temos que a constante é igual a $F(a)$, isto é $F(x) = F(a) + G(x) = F(a) + \int_a^x f(t)dt$.$\square$

Note que o $a$ que do resultado anterior não é importante no seguinte sentido: se valer para algum $a$, vale para qualquer outro, como se verifica abaixo:

\[\begin{array}{rcl} F(x) & = & F(a) + \int_a^x f(t) dt\\ & = & F(a) + \int_a^c f(t)dt + \int_c^x f(t)dt\\ & = & F(c) + \int_c^x f(t)dt \end{array}\] se as condições da segunda afirmação do teorema estão satisfeitas.