Teorema (de Rolle) Sejam $a < b$ e $f:[a , b] \to \mathbb R$ contínua e diferenciável (em $]a, b[$). Se $f(a) = f(b)$, então existe $x \in ]a, b[$ tal que $f'(x) = 0$.

Dem.: Como $f$ é contínua, ela admite máximo e mínimo. Vamos separar em dois casos. No primeiro, o máximo e o mínimo da função são iguais a $f(a) = f(b)$. Neste caso, a função é constante e, portanto, todo ponto tem derivada igual a $0$.

No caso que o máximo ou mínimo forem diferentes, segue do fato da função ter um máximo (ou um mínimo) num ponto $x \in ]a, b[$. Em particular, $x$ é um ponto de máximo/mínimo local.$\square$

Teorema (do valor médio) Sejam $a < b$ e $f:[a , b] \to \mathbb R$ contínua e diferenciável (em $]a, b[$). Então existe $x \in ]a, b[$ tal que \[f'(x) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.\]

Dem.: Considere a constante $K = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Defina \[g(x) = f(b) - f(x) - K(b - x)\] Note que $g: [a, b] \to \mathbb R$ é diferenciável em $]a, b[$ e que

• $g(a) = f(b) - f(a) - f(b) + f(a) = 0$;
• $g(b) = f(b) - f(b) - 0 = 0$.

Logo, pelo teorema anterior, existe $x$ tal que $g'(x) = 0$. Note que \[g'(x) = -f'(x) + K.\] Logo, $f'(x) = K = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. $\square$