Proposição Sejam $f$ e $g$ funções diferenciáveis em $x_0$. Então \[(f(x_0) + g(x_0))' = f'(x_0) + g'(x_0)\]

Dem.: \[\begin{array}{rcl} (f(x_0) + g(x_0))' & = & \lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x) + g(x) - f(x_0) - g(x_0)}{x - x_0}\\ & = & \lim\limits_{x \to x_0}(\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} + \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0})\\ & = & f'(x_0) + g'(x_0)\\ \end{array}\]$\square$

Exemplo \[(x +\cos(x))' = x' + \cos'(x) = 1 - \sen(x)\]

Proposição Sejam $f$ e $g$ funções diferenciáveis em $x_0$. Então \[(f(x_0)g(x_0))' = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0)\]

Dem.:

\[\begin{array}{rcl} (f(x_0)g(x_0))' & = & \lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0)}{x - x_0}\\ & = & \lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) + f(x)g(x_0) - f(x)g(x_0)}{x - x_0}\\ & = & \lim\limits_{x \to x_0}(\frac{f(x)g(x) - f(x)g(x_0)}{x - x_0} + \frac{f(x)g(x_0) - f(x_0)g(x_0)}{x - x_0})\\ & = & \lim\limits_{x \to 0}(f(x)\frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} + \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}g(x_0))\\ & = & f(x_0)g'(x_0) + f'(x_0)g(x_0) \end{array}\]$\square$

Exemplo \[\begin{array}{rcl} (\sen^2(x))' & = & (\sen(x)\sen(x))'\\ & = & \sen'(x)\sen(x) + \sen(x)\sen'(x)\\ & = & 2\cos(x)\sen(x)\\ \end{array}\]

1Sejam $f$ função diferenciável em $x_0$ e $k \in \mathbb R$. considere $g(x) = kf(x)$. Mostre que $g'(x_0) = kf'(x_0)$ de duas maneiras: pela definição e usando a regra do produto feita acima (use a função constante $h(x) = k$ para ajudar).

2 Como para todo $x$, $\sen^2(x) + \cos^2(x) = 1$, temos que que $(\sen^2(x) + \cos^2(x))' = 0$ (derivada da função constante). Mas você também pode mostrar essa última igualdade usando as regras apresentadas aqui - é um bom exercício e você já sabe a resposta.