Com o que temos, agora ficou bem fácil calcular derivadas de polinômios.

Lema Dados $n \in \mathbb N$ e $k \in \mathbb R$, considere $f(x) = kx^n$. Então $f'(x) = nkx^{n - 1}$.

Dem.: Vamos fazer isso por indução sobre $n$. Caso $n = 0$, note que $f(x) = k$ e, de fato, $f'(x) = 0$ (função constante).

Agora suponha o caso $n$ e vamos provar o caso $n + 1$. Temos \[\begin{array}{rcl} f'(x) & = & (kx^{n + 1})'\\ & = & (kx^n x)'\\ & = & (kx^n)'x + kx^n (x)'\\ & \stackrel{(HI)}{=} & nkx^{n - 1}x + kx^n \cdot 1\\ & = & nkx^n + kx^n\\ & = & (n + 1)kx^n\\ \end{array}\]

Proposição Se $p(x) = a_n x^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0$, então $p'(x) = na_nx^{n - 1} + (n - 1)a_{n - 1}x^{n - 2} + \cdots + a_1$.

Dem.: Basta usar o resultado anterior e o fato que a derivada da soma é a soma das derivadas.

Exemplo Considere $p(x) = 3x^5 - 4x^2 + x - 1$. Então \[p'(x) = 15x^4 - 8x + 1\]