Começamos com uma relação entre crescimento da função e o sinal da derivada:

Proposição Seja $f: I \to \mathbb R$ onde $I$ é um intervalo aberto. Se $f$ é diferenciável e crescente, então para todo $x \in I$, $f'(x) \geq 0$.

Dem.: Sabemos que, para todo $x \in I$

\[\begin{array}{rcl} f'(x) & = & \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\\ & = & \lim\limits_{h \to 0^+} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\\ & \geq & 0\\ \end{array}\]$\square$

Claramente, vale o resultado análogo para funções decrescentes:

Proposição Seja $f: I \to \mathbb R$ onde $I$ é um intervalo aberto. Se $f$ é diferenciável e decrescente, então para todo $x \in I$, $f'(x) \leq 0$.

Algumas vezes queremos uma versão local de maximalidade:

Proposição Seja $f: I \to \mathbb R$, onde $I$ é um intervalo aberto e $f$ é diferenciável. Se $x_0$ é um ponto de máximo local (mínimo local) então $f'(x_0) = 0$.

Dem.: Vamos fazer o caso máximo local, o outro é análogo. Como $x_0$ é máximo local, existe $J \subset I$ tal que para todo $a \in J$, $f(a) \leq f(x_0)$. Note que, dado $h$ de forma que $x_0 + h \in J$, temos que \[f(x_0 + h) - f(x_0) \leq 0.\] Assim, calculando os limites laterais da derivada, temos \[\lim\limits_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \geq 0\] \[\lim\limits_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \leq 0\] Como $f$ é diferenciável, $f'(x_0)$ coincide com ambos limites estimados acima. Ou seja, $f'(x_0) = 0$. $\square$