Começamos com o seguinte caso particular:

Proposição $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$, para $x \neq 0$.

Dem.: \[\begin{array}{rcl} (\frac{1}{x})' & = & \lim\limits_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h}\\ & = & \lim\limits_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h}\frac{(x + h)x}{(x + h)x}\\ & = & \lim\limits_{h \to 0} \frac{x - x - h}{hx(x + h)}\\ & = & \lim\limits_{h \to 0} \frac{-1}{x^2 + hx}\\ & = & -\frac{1}{x^2} \end{array}\]$\square$

Proposição Para $n \geq 1$ vale $(x^{-n})' = -n x^{-n - 1}$ para $x \neq 0$.

Dem.: Considere $g(a) = \frac{1}{a}$ e $f(b) = x^n$. Assim \[\begin{array}{rcl} (x^{-n})' & = & (g(f(x)))' \\ & = & g'(f(x))f'(x) \\ & = & -\frac{1}{f(x)^2}n x^{n - 1}\\ & = & - n \frac{1}{x^{2n}} x^{n - 1}\\ & = & -n x^{-n - 1} \end{array}\]$\square$

Corolário Para qualquer $n \in \mathbb Z$, $(x^n)' = n x^{n - 1}$ (pedindo $x \neq 0$ se $n < 0$).

Proposição Seja $f$ diferenciável em $x_0$ tal que $f(x_0) \neq 0$. Então $(\frac{1}{f(x_0)})' = -\frac{f'(x_0)}{f(x_0)^2}$.

Dem.: Considere $g(a) = \frac{1}{a}$ para $a \neq 0$. Então \[(\frac{1}{f(x_0)})' = (g(f(x_0)))' = g'(f(x_0))f'(x_0) = -\frac{1}{(f(x_0))^2} f'(x_0) = -\frac{f'(x_0)}{f(x_0)^2}\]$\square$

Proposição $(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}$ (quando $g(x) \neq 0$).

Dem.: Temos \[\begin{array}{rcl} (\frac{f(x)}{g(x)})' & = & f'(x)\frac{1}{g(x)} + f(x)(\frac{1}{g(x)})'\\ & = & \frac{f'(x)}{g(x)} - f(x) \frac{g'(x)}{g^2(x)}\\ & = & \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}\\ \end{array}\]$\square$

Exemplo \[\begin{array}{rcl} \tan(x)' & = & (\frac{\sen(x)}{\cos(x)})'\\ & = & \frac{\cos(x)\cos(x) + \sen(x)\sen(x)}{\cos^2(x)}\\ & = & \frac{1}{\cos^2(x)} \end{array}\]