$\def\dom{\text{dom}}$ $\def\Im{\text{Im}}$
Dados dois conjuntos $A$ e $B$, indicamos por $f: A \to B$ uma função de $A$ em $B$. Desta forma estamos fazendo uma associação entre cada elemento de $A$ com um elemento de $B$. A notação é, dado $a \in A$, o elemento de $B$ associado é indicado por $f(a)$. Nessa situação, temos os seguintes nomes:
Do jeito que definimos, uma função pode ser feita entre quaisquer dois conjuntos. Por exemplo, poderíamos ter a função que associa a cada pessoa a sua altura - neste caso o domínio seria formado pelas pessoas e o contra-domínio pelos números reais. Mas aqui estaremos mais preocupados com funções reais: aquelas cujo domínio e contradomínio são subconjuntos dos reais.
Exemplo Considere $$f: \mathbb R \to \mathbb R$$ dada por $f(x) = x^2$. Note que $\Im(f) = \mathbb R_{\geq 0}$.
Fixada $f: A \to B$ ela pode ser:
Exemplo A função $$f: \mathbb R \to \mathbb R$$ dada por $f(x) = 2x$ é bijetora. De fato:
Exemplo A função $$f: \mathbb R \to \mathbb R$$ dada por $f(x) = x^2$ não é injetora. De fato, note que $f(-1) = f(1)$. Note também que, da forma apresentada, tal função também não é sobrejetora.
Considere $f: A \to B$ e $g: B \to C$. Denotamos por $g \circ f$ a função dada por $(g \circ f)(x) = g(f(x))$. Chamamos tal operação de composição de funções.
É importante a ordem. Note que, na definição acima, primeiro aplicamos a $f$, depois aplicamos a $g$ ao resultado.
Exemplo Considere $f: \mathbb R \to \mathbb R$ e $g: \mathbb R \to \mathbb R$ dadas por $f(x) = x^2$ e $g(x) = 3x$. Note que