$\def\sen{\text{sen}}$

Fazendo $f(x) = e^x$ e $g'(x) = \sen x$, temos que $f'(x) = e^x$ e $g(x) = -\cos x$. Assim \[\int_a^b e^x \sen x dx = (-e^x \cos x)|_a^b + \int_a^b e^x \cos x dx.\]

Para calcular $\int_a^b e^x \cos x dx$, fazemos $f(x) = e^x$ e $g'(x) = \cos x$. Assim $f'(x) = e^x$ e $g(x) = \sen x$. Logo $\int_a^b e^x \cos x dx = (e^x \sen x)|_a^b - \int_a^b e^x \sen x$. Substituindo na anterior, temos: \[\int_a^b e^x \sen x dx = (-e^x \cos x + e^x \sen x)|_a^b - \int_a^b e^x \sen xdx.\]

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\[\int_a^b e^x \sen x dx = \frac{1}{2} e^x(\sen x - \cos x)|_a^b.\]