Considere as funções $f,g,h$ tais que $\exists\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ e $\exists\displaystyle\lim_{x \to a} g(x)$. Além disso, $h$ é tal que $h(x) = f(x) + g(x)$ e $\displaystyle\lim_{x \to a} h(x) = 5$. Dadas as afirmações, calcule $\displaystyle\left[\lim_{x \to a} f(x)\right]^2 + \left[\lim_{x \to a} g(x)\right]^2 + 2\left[\lim_{x \to a} f(x)\right]\left[\lim_{x \to a} g(x)\right] - \left[\lim_{x \to a} f(x)\right] - \left[\lim_{x \to a} g(x)\right]$.

Considere as funções $$f(x) = x^2 + 3 \textrm{ se } x \leq 1,\hspace{1mm} f(x) = x + 1 \textrm{ se } x > 1$$ $$g(x) = x^2 \textrm{ se } x \leq 1, \hspace{1mm} g(x) = 2 \textrm{ se } x > 1$$ Determine a validade da afirmação 'Os limites $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)$, $\displaystyle\lim_{x \to 1} g(x)$ e $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)g(x)$ existem'.