Podemos estender o resultado anterior para o caso de limites onde o “$x$ tende ao infinito”:
Proposição Sejam $f, g$ funções reais tais que $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A$ e $\lim\limits_{x \to a} g(x) = B$ onde $A, B \in \mathbb R$ e $a$ pode tanto ser um valor real, como $+\infty$ ou $-\infty$. Temos:
A demonstração da proposição acima é muito parecida com a original - tente escrever os casos novos.
O problema surge quando tentamos permitir que o $A$ e $B$ do enunciado também possam assumir valores $+\infty$ ou $-\infty$. Neste caso precisamos ser mais cuidadosos:
Proposição Sejam $f, g$ funções reais, $k$ um valor real e $a$ um valor real (ou podendo também ser $+\infty$ ou $-\infty$). Vale a seguinte tabela para o limite da soma ($\lim\limits_{x \to a} (f(x) + g(x))$):
| $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$ | $\lim\limits_{x \to a} f(x) = -\infty$ | $\lim\limits_{x \to a} f(x) = k$ | |
|---|---|---|---|
| $\lim\limits_{x \to a} g(x) = +\infty$ | $+\infty$ | \o/ | $+\infty$ |
| $\lim\limits_{x \to a} g(x) = -\infty$ | \o/ | $-\infty$ | $-\infty$ |
Onde está marcado com \o/, você precisa ter atenção: o resultado não pode ser determinado no caso geral e você vai ter que analisar caso a caso (veja abaixo).
Dem.: A título de exemplo, vamos provar o caso $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$ e $\lim\limits_{x \to a} g(x) = +\infty$ com $a \in \mathbb R$. Os outros casos ficam como exercício.
Seja $M > 0$. Sejam $\delta_1, \delta_2 > 0$ tais que
Seja $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$. Note que, se $0< |x - a| < \delta$, então $f(x) + g(x) > 2M > M$.
$\square$
1 Complete a demonstração do resultado acima.
Temos o resultado análogo para o produto:
Proposição Sejam $f, g$ funções reais, $k > 0$ um valor real e $a$ um valor real (ou podendo também ser $+\infty$ ou $-\infty$). Vale a seguinte tabela para o limite do produto ($\lim\limits_{x \to a} (f(x) g(x))$):
| $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$ | $\lim\limits_{x \to a} f(x) = -\infty$ | $\lim\limits_{x \to a} f(x) = k$ | $\lim\limits_{x \to a} f(x) = -k$ | |
|---|---|---|---|---|
| $\lim\limits_{x \to a} g(x) = +\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ |
| $\lim\limits_{x \to a} g(x) = -\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
Note que não aparece o caso $k = 0$ - esse ganharia um \o/ como acima - veremos os exemplos abaixo.
Dem.: Vamos fazer o caso $\lim\limits_{x \to a}f(x) = k$ e $\lim\limits_{x \to a} g(x) = +\infty$, com $a \in \mathbb R$. Sejam $M > 0$. Sejam $\delta_1, \delta_2 > 0$ tais que
Seja $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$ e seja $x$ tal que $0 < |x - a| < \delta$. Temos \[f(x)g(x) > \frac{k}{2}\frac{M}{\frac{k}{2}} = M\]
$\square$
Valem os resultados análogos aos anteriores com limites laterais.
Vejamos agora exemplos para ilustrar que os casos não contemplados nos resultados anteriores de fato não eram conclusivos:
Exemplo Considere $f(x) = x$, $g(x) = -x^2$, $h(x) = 1 - x$ e $r(x) = \frac{1}{x}$. Temos
2 Dê exemplos de funções $f$ e $g$ tais que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = 0$ e que:
2.1 $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)g(x)= +\infty$
2.2 $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)g(x)= 3$