Soma e produto

Suponha que você já saiba lidar com limites de funções como $f(x) = x$ e $g(x) = 3$. Deveria haver uma maneira simples de se poder lidar com limites de funções como

$h(x) = x + 3$
$p(x) = 3x$
$q(x) = x^2$

certo? Afinal, $h(x) = f(x) + g(x)$, $p(x) = f(x)g(x)$ e $q(x) = f(x)f(x)$. É exatamente sobre esse tipo de construção que vamos trabalhar agora.

Proposição Sejam $f, g$ funções reais tais que $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A$ e $\lim\limits_{x \to a} g(x) = B$. Então temos:

$\lim\limits_{x \to a} (f(x) + g(x)) = A + B$;
$\lim\limits_{x \to a} (f(x) g(x)) = AB$.

Dem.:

Seja $\varepsilon > 0$. Precisamos mostrar que existe $\delta > 0$ tal que, para qualquer $x$ tal que $0 < |x - a| < \delta$, temos $|f(x) - (A + B)| < \varepsilon$. Por hipótese, existem $\delta_1, \delta_2 > 0$ tais que

\[0< |x - a| < \delta_1 \Rightarrow |f(x) - A| < \frac{\varepsilon}{2}\] \[0< |x - a| < \delta_2 \Rightarrow |g(x) - B| < \frac{\varepsilon}{2}.\]

Seja $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$. Seja $x$ tal que $0 < |x - a| < \delta$. Temos \[ \begin{array}{rcl} |f(x) + g(x) - (A + B)| & \leq & |f(x) - A| + |g(x) - B|\\ & < & \varepsilon\\ \end{array}\]

Seja $\varepsilon > 0$. Novamente, por hipótese, existem $\delta_1, \delta_2, \delta_3 > 0$ tais que

\[0 < |x - a| < \delta_1 \Rightarrow |f(x) - A| < \frac{\varepsilon}{2 (1 + |B|)}\] \[0 < |x - a| < \delta_2 \Rightarrow |g(x) - B| < \frac{\varepsilon}{2 (1 + |A|)}\] \[0 < |x - a| < \delta_3 \Rightarrow |g(x) - B| < 1\]

Pela última desigualdade, temos, para $x$ tal que $0 < |x - a| < \delta_3$, \[|g(x)| = |g(x) - B + B| \leq |g(x) - B| + |B| < 1 + |B|\]

Seja $\delta > 0$ tal que $\delta < \delta_1, \delta_2, \delta_3$. Seja $x \in \mathbb R$ tal que $0 < |x - a| < \delta$. Temos \[ \begin{array}{rcl} |f(x)g(x) - AB| & = & |f(x)g(x) - Ag(x) + Ag(x) - AB|\\ & \leq & |f(x)g(x) - Ag(x)| + |Ag(x) - AB|\\ & = & |g(x)||f(x) - A| + |A||g(x) - B|\\ & < & |g(x)|\frac{\varepsilon}{2(1 + |B|)} + |A|\frac{\varepsilon}{2(1 + |A|)}\\ & < & (1 + |B|)\frac{\varepsilon}{2(1 + |B|)} + (1 + |A|)\frac{\varepsilon}{2(1 + |A|)}\\ & = & \varepsilon \end{array}\]

$\square$

1 Usando a proposição acima, determine os seguintes limites:

1.1 $\lim\limits_{x \to 4} x^2$;

1.2 $\lim\limits_{x \to 2} x + 3$.

Vale o resultado análogo ao da proposição acima se você trocar todos os limites por algum limite lateral (mas cuidado, troque sempre pelo mesmo limite lateral).

2 Tente fazer a demonstração de $\lim\limits_{x \to a^+} (f(x) + g(x)) = A + B$ se $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = A$ e $\lim\limits_{x \to a^+} g(x) = B$.

Cuidado com o enunciado da proposição: uma maneira de se ler é “se os limites das parcelas existem, então o limite da soma existe e é igual à soma dos limites das parcelas”. Cuidado com as existências (veja o exercício abaixo).

3 Considere

$f(x) = 1$ se $x \geq 0$ e $f(x) = -1$ se $x < 0$;
$g(x) = -1$ se $x \geq 0$ e $g(x) = 1$ se $x < 0$.

4 Note que não existem os limites $\lim\limits_{x \to 0}f(x)$ e $\lim\limits_{x \to 0}g(x)$.

5 Note que existe o limite $\lim\limits_{x \to 0} (f(x) + g(x))$.

Apresentamos o resultado aqui sem nos preocuparmos muito com os domínios das funções para não tirar o foco do que é mais importante no momento - mas se você quiser melhorar o resultado, veja aqui uma discussão.

Exercícios