$\def\sen{\text{sen}}$ $\def\arcsen{\text{arcsen}}$
Dizemos que $F$ é uma primitiva de $f$ se $F'(x) = f(x)$ para todo $x$.
Exemplo Temos que uma primitiva para $x^2$ é $\frac{1}{3}x^3$. Em geral, para $q \in \mathbb Q$, com $q \neq -1$, temos que uma primitiva para $x^q$ (onde se pode fazer a conta) é $\frac{1}{q + 1}x^{q + 1}$. De fato, $(\frac{1}{q + 1}x^{q + 1})' = \frac{q + 1}{q + 1}x^q = x^q$.
Como soma de derivadas é a derivada da soma, obtemos que se $F$ é primitiva de $f$ e $G$ é primitiva de $g$, então $F + G$ é uma primitiva de $f + g$. Com isso, mais o exemplo acima, já obtemos primitivas de polinômios facilmente.
Exemplo Uma primitiva para $3x^4 + 4x^2 - 3x + 1$ é $3 \frac{1}{5}x^5 + 4 \frac{1}{3}x^3 - 3 \frac{1}{2}x^2 + x$.
Exemplo Uma primitiva de $\sen x$ é $-\cos x$. Uma de $\cos x$ é $\sen x$. Uma de $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ é $\arcsen x$.
Considere uma função positiva $f$. Note que, como $\frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) dx$ é a média de $f$ em $[a, b]$, a área entre o eixo $x$ e o gráfico de $f$ no intervalo $[a, b]$ é dada por $(b - a) \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(x)dx$
Exemplo A área sob o gráfico da função $x^2 + 1$ em $[-1, 1]$ é dada por (atenção, a gente já faz assim por saber que essa função é positiva) \[\int_{-1}^1 x^2 + 1 dx = (\frac{1}{3}x^3 + x)|_{-1}^1 = \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3} + 1 = 2 + \frac{2}{3}\]
Exemplo A área entre o gráfico de $f(x) = x$ e $g(x) = x^2$ em $[0, 1]$. Fazemos a “área maior” menos a “menor”. Ou seja \[\int_0^1 x - x^2 dx = (\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3})|_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\]
O problema ocorre quando a função fica negativa: a resposta da integral dá a área entre o gráfico da função e o eixo $x$, mas com sinal trocado.
Exemplo $\int_{0}^2 -x^2 dx = (-\frac{x^3}{3})|_0^2 = -\frac{8}{3}$.
Assim, precisamos tomar cuidado quando a função “troca de sinal”:
Exemplo Se quisermos calcular a área entre o gráfico de $sen(x)$ e o eixo $x$ no intervalo $[0, 2\pi]$, precisamos tomar cuidado com o sinal da função. Lembre que $\sen(x)$ é positiva entre $0$ e $\pi$ e negativa entre $\pi$ e $2\pi$. Assim a área desejada é calculada por
\[\int_0^{\pi} \sen(x) dx + (-\int_{\pi}^{2\pi} \sen(x)dx) = -\cos(x)|_0^{\pi} - (-\cos(x))|_\pi^{2\pi}) = -\cos(\pi) + \cos(0) + \cos(2\pi) - \cos(\pi) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4\]
Enquanto que um “cálculo descuidado”, daria
\[\int_{0}^{2\pi} \sen(x) dx = -\cos(x)|_0^{2\pi} = -\cos(2\pi) + \cos(0) = -1 + 1 = 0.\]