Vamos tentar calcular a média de uma função contínua num intervalo $[a, b]$. Uma primeira aproximação seria
\[\frac{f(a) + f(b)}{2} = \frac{1}{2}f(a) + \frac{1}{2} f(b)\]
Poderíamos também fazer uma estimativa “por baixo” e uma “por cima”: a “por baixo” seria \[\frac{1}{2} m_1 + \frac{1}{2} m_2\] onde $m_1 = \min\{f(x): x \in [a, \frac{a + b}{2}]\}$ e $m_2 = \min[f(x): x \in \frac{a + b}{2}, b]$.
A “por cima” seria: \[\frac{1}{2} M_1 + \frac{1}{2} M_2\] onde $M_1 = \max\{f(x): x \in [a, \frac{a + b}{2}]\}$ e $M_2 = \max\{f(x): x \in [\frac{a + b}{2}, b]\}$.
Mas o ponto da divisão não necessariamente precisaria ser o $\frac{a + b}{2}$. Podemos dividir o intervalo em duas partes não simétricas: $[a, a + \Delta_1] + [a + \Delta_1, b]$. Para simplificar, chamemos $\Delta_2 = b - (a + \Delta_1)$.
Daí, as aproximações “por cima” e “por baixo” ficariam \[\frac{\Delta_1}{b - a} m_1 + \frac{\Delta_2}{b - a} m_2\] \[\frac{\Delta_1}{b - a} M_1 + \frac{\Delta_2}{b - a} M_2\] com $m_i$ e $M_i$ definidos analogamente ao caso anterior.
Podemos melhorar as aproximações fazendo diversos $\Delta_i$'s :
\[(\Delta_1 m_1 + \cdots \Delta_n m_n) \frac{1}{b - a}\] \[(\Delta_1 M_1 + \cdots \Delta_n M_n) \frac{1}{b - a}\]
Novamente com os $m_i$ e $M_i$'s de maneira análoga às anteriores.
Assim, teríamos melhores aproximações quanto mais os $\Delta_i$'s tivessem tamanhos próximos de $0$.
Fazendo uma espécie de limite, temos as duas aproximações. Diremos que $f$ é integrável no caso das duas aproximações coincidirem. E vamos chamar de integral de $f$ de $a$ a $b$, o o tal valor (sem a parte da constante $\frac{1}{b - a}$). A notação é \[\int_a^b f(x) dx\]
e, portanto, a média da função seria dada por \[\frac{1}{b - a}\int_a^b f(x) dx\]
Quando $\int_a^b f(x) dx$ existe, dizemos que $f$ é integrável.
Exemplo Considere $f(x) = c$. Temos que, não importa quais $\Delta_i$'s tomarmos, os valores de $m_i$ e $M_i$ serão sempre os mesmos (iguais a $c$). Assim, as contas acima ficam \[\sum_{i = 1}^n\Delta_i m_i = \sum_{i = 1}^n \Delta_i c = (b - a) c.\] Note que, de fato, a média nesse caso fica igual a $c$.
Exemplo Considere $f(x) = x$. Para facilitar a exposição, vamos dividir o intervalo $[0, 1]$ em $n$ partes iguais (mas se a divisão for outra, dá meio que a mesma coisa, mas mais feia). Assim, cada $\Delta_i = \frac{1}{n}$. Note que os valores $m_i$ são $0, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \ldots, \frac{n - 1}{n}$. Assim, a estimativa inferior é dada por \[\sum_{i = 1}^n \frac{1}{n} \frac{i - 1}{n} = \frac{1}{n^2}\sum_{i = 1}^n (i - 1)= \frac{1}{n^2}\frac{n(n - 1)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2n}\]
Analogamente, a soma superior fica \[\frac{1}{2} + \frac{1}{2n}\] Para que o comprimento dos $\Delta_i$ ficar próximo de $0$, basta fazermos o $n$ ir para $+\infty$, assim ambas as somas se aproximam de $\frac{1}{2}$. Novamente isso coincide com a média, como esperávamos.