Logaritmos

Vamos definir a seguinte função $F: ]0, +\infty[ \to \mathbb R$ dada por \[F(x) = \int_1^x\frac{1}{t}dt\]

Começamos provando algumas propriedades sobre ela:

Proposição Sejam $a, b, c > 0$. Então \[\int_{ac}^{bc} \frac{1}{t}dt = \int_a^b \frac{1}{t}dt.\]

Dem.: Fazendo a mudança $v(t) = ct$, temos que $dv = cdt$. Assim \[\int_a^b \frac{1}{t} dt = \int_a^b \frac{c}{ct}dt = \int_{ac}^{bc} \frac{1}{v}dv.\]$\square$

Proposição $\frac{1}{2} < F(2) < 1$.

Dem.: Observe a seguinte figura e compare algumas áreas nela. $\square$

Proposição $F(2^n) > \frac{n}{2}$.

Dem.: Note que, pelo primeiro lema, temos para qualquer $1 \leq j \leq n$, \[\int_{2^j}^{2^{j + 1}} \frac{1}{t}dt = \int_1^2 \frac{1}{t}dt\] Logo, pelo segundo lema, temos: \[F(2^n) = \int_1^{2^n} \frac{1}{t}dt = \sum_{j = 1}^n \int_{2^{j - 1}}^{2^j} \frac{1}{t} dt = \sum_{j = 1}^n \int_1^2 \frac{1}{t}dt > \sum_{j = 1}^n \frac{1}{2} = \frac{n}{2}\]$\square$

Proposição Existe um único real, que chamaremos de $e$, tal que $F(e) = 1$.

Dem.: Primeiramente, note que $F(4) = F(2^2) > 1$. Note também que $F(2) < 1 < F(4)$. Como $F$ é contínua, existe $e \in \mathbb R$ tal que $F(e) = 1$. A unicidade segue do fato que $F'(x) = \frac{1}{x} > 0$ e, portanto, $F$ ser uma função estritamente crescente. $\square$

Proposição Dados $x, y > 0$, temos que

• $\ln xy = \ln x + \ln y$;
• $\ln \frac{1}{x} = - \ln x$;
• $\ln \frac{x}{y} = \ln x - \ln y$.

Dem.:

• $\ln xy = \int_1^{xy}\frac{1}{t}dt = \int_1^x \frac{1}{t}dt + \int_x^{xy}\frac{1}{t}dt = \int_1^x \frac{1}{t}dt + \int_1^{y}\frac{1}{t}dt$.
• Note que $\ln \frac{1}{x} + \ln x = \ln(\frac{1}{x} x) = 0$.
• $\ln \frac{x}{y} = \ln x \frac{1}{y} = \ln x + \ln \frac{1}{y} = \ln x - \ln y$. $\square$

Proposição Dados $x > 0$ e $n \in \mathbb N$, temos:

• $\ln x^n = n \ln x$;
• $\ln x^\frac{1}{n} = \frac{1}{n} \ln x$, se $n \neq 0$.

Dem.:

• $\ln x^n = \ln x + \ln x^{n - 1} = \cdots = n \ln x$.
• Como $(x^{\frac{1}{n}})^n = x$, temos $n\ln x^{\frac{1}{n}} = \ln x$.$\square$

Proposição Dados $x > 0$ e $r \in \mathbb Q$ temos $\ln x^r = r \ln x$.

Dem.: Note que, caso $r = 0$, temos que o resultado vale. Suponha $r = \frac{m}{n}$ com $m, n \in \mathbb N$. Então $\ln x^{\frac{m}{n}} = \ln (x^m)^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n} \ln x^m = \frac{m}{n} \ln x$. Caso $r < 0$, temos $\ln x^r = \ln (x^{-1})^{-r} = -r \ln \frac{1}{x} = r \ln x$. $\square$

Proposição $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$.

Dem.: Seja $L > 0$. Sejam $n > 2L$ e $K > 2^n$. Temos, para $x > K$: \[\ln x > \ln 2^n > \frac{n}{2} > L.\]$\square$

Proposição $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = - \infty$.

Dem.: Defina $a = \frac{1}{x}$. Assim: \[\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = \lim\limits_{a \to +\infty} \ln\frac{1}{a} = \lim\limits_{a \to +\infty} -\ln a = -\infty\]$\square$