Como $\ln x$ é estritamente crescente, faz sentido a seguinte definição:
Chamaremos de $\exp: \mathbb R \to ]0, +\infty[$ a inversa da função $\ln: ]0, +\infty[ \to \mathbb R$. Ou seja, $y = \exp x$ se, e somente se, $x = \ln y$.
Note que $\exp 1 = e$ e $\exp 0 = 1$.
Proposição Dados $x, y \in \mathbb R$, temos que $\exp(x + y) = \exp x \exp y$.
Dem.: Sejam $a = \exp x$ e $b = \exp y$. Note que $x = \ln a$ e $y = \ln b$. Assim \[\exp(x + y) = \exp(\ln a + \ln b) = \exp(\ln(ab)) = ab = \exp x \exp y.\] $\square$
Proposição Dados $x \in \mathbb R$ e $q \in \mathbb Q$, temos que $(\exp x)^q = \exp(xq)$.
Dem.: Se $q = 0$, temos que ambos os lados da igualdade valem $1$. Se $q \in \mathbb N$ e $q > 0$, temos que o resultado vale pelo resultado anterior. Note também que, dado $n > 0$, temos que \[(\exp \frac{x}{n})^n = \exp(n \frac{x}{n}) = \exp x.\] Assim, \[(\exp x)^{\frac{1}{n}} = \exp \frac{x}{n}.\]
Juntando esses resultados, temos que se $q = \frac{a}{b}$ de forma que $a, b \in \mathbb N_> 0$, temos \[(\exp x)^{\frac{a}{b}} = ((\exp x)^a)^{\frac{1}{b}} = (\exp(ax))^{\frac{1}{b}} = \exp(\frac{a}{b}x).\]
Caso $r < 0$, temos: \[\exp(rx)(\exp(x))^{-r} = \exp(rx)\exp(-rx) = \exp(rx - rx) = 1.\] Isto é, $\exp(rx) = ((\exp(x))^{-r})^{-1} = (\exp(x))^r$.$\square$
Note que $\exp(r) = \exp(1r) = (\exp(1))^r = e^r$.
Pela última observação, faz sentido a seguinte definição:
Para qualquer $x \in \mathbb R$, definimos $e^x = \exp x$ (pela última observação, isso é coerente com a notação anterior).
Proposição Dado $x \in \mathbb R$, temos $(e^x)' = e^x$.
Dem.: Seja $y = e^x$. Então $x = \ln y$. Assim \[(e^x)' = (\ln^{-1}x)' = \frac{1}{\ln'(y)} = \frac{1}{\frac{1}{y}} = y = e^x.\] $\square$
Dado $a > 0$, temos que $a = e^{\ln a}$ (pois uma é inversa da outra). Assim, dado $q \in \mathbb Q$, temos que $a^q = (e^{\ln a})^q = e^{q \ln a}$.
Pela última observação, faz sentido a seguinte definição:
Dados $a > 0$ e $x \in \mathbb R$, definimos $a^x = e^{x \ln a}$.
Proposição Sejam $a > 0$ e $x \in \mathbb R$. ($a$ fixo, $x$ variável) Então \[(a^x)' = a^x \ln a.\]
Dem.: Temos $(a^x)' = (e^{x\ln a})' = e^{x\ln a}\ln a = a^x \ln a$ $\square$
Proposição Se $a > 0$ e $b, c \in \mathbb R$, temos:
Dem.:
Finalmente, temos a regra do tombo em todo o seu esplendor,
Proposição Considere $f: ]0, + \infty[ \to \mathbb R$ dada por $f(x) = x^c$, onde $c \in \mathbb R$. Temos que $f'(x) = c x^{c - 1}$.
Dem.: $(x^c)' = (e^{c \ln x})' = e^{c \ln x}c \frac{1}{x} = c x^{-1}e^{c \ln x} = c x^{-1}x^{c} = c x^{c - 1}$. $\square$