Note que $e^x > 0$ para qualquer $x$. Assim, como $(e^x)' = e^x$, temos que $e^x$ é uma função estritamente crescente e, portanto, admite uma inversa. Vamos chamar tal inversa de $\ln x$.
Diretamente da definição acima, temos:
Proposição
Conseguimos também calcular a derivada de $\ln x$ (usando essa lista):
Proposição Dado $x > 0$, temos que $\ln'(x) = \frac{1}{x}$.
Dem.: Seja $x \in ]0, +\infty[$. Seja $y$ tal que $e^y = x$. Então $(\ln x)' = \frac{1}{(e^y)'} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$.
Com o resultado acima, mais o fato que $\ln 1 = 0$, temos que
Proposição Dado $x > 0$, temos que $\ln x < 0$ se $x < 1$ e que $\ln x > 0$ se $x > 1$.
Note que, dado $a > 0$, poderíamos fazer o seguinte:
\[e^{x\ln a} = (e^{\ln a})^x = a^x\]
Isso motiva definirmos:
\[a^x := e^{x\ln a}\]
Proposição Dado $a > 0$, $(a^x)' = a^x \ln a$.
Dem.: \[(a^x)' = (e^{x\ln a})' = \ln a e^{x\ln a} = a^x \ln a.\]
Com o resultado acima, podemos facilmente determinar o crescimento de $a^x$ - note que $a^x > 0$ para todo $x$. Assim, o ``sinal'' da expressão acima é dado simplesmente pelo sinal de $\ln a$. Assim, temos que $a^x$ é estritamente crescente para $a > 1$ e estritamente decrescente para $a < 1$.
Proposição Sejam $a \in \mathbb R_{>0}$ e $b, c \in \mathbb R$. Então
Dem.:
Proposição (Regra do tombo) Considere $f: \mathbb R_{>0} \to \mathbb R$ dada por $x^r$, temos que $f'(x) = rx^{r - 1}$ para qualquer $r \in \mathbb R$.
Dem.: \[(x^r)' = (e^{r \ln x})' = e^{r\ln x}\frac{r}{x} = \frac{r}{x}x^r = rx^{r - 1}.\]