$\def\sen{\text{sen}}$ $\def\arcsen{\text{arcsen}}$ $\def\arccos{\text{arccos}}$
Costumamos definir $\arcsen: ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ \to ]-1, 1[$
Proposição $\arcsen'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.
Dem.: Considere a substituição $x = \sen(y)$. Vamos usar também a seguinte identidade: $\cos(y) = \sqrt{1 - \sen^2(y)}$. Assim:
\[\begin{array}{rcl} \arcsen'(x) & = & \arcsen'(\sen(y))\\ & = & \frac{1}{\sen'(y)}\\ & = & \frac{1}{\cos(y)}\\ & = & \frac{1}{\sqrt{1 - \sen^2(y)}}\\ & = & \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \end{array}\]
Costumamos definir $\arccos: ]0, \pi[ \to ]-1, 1[$
Proposição $\arccos'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.
Dem.: Vamos fazer $x = \cos(y)$. Vamos usar também a seguinte identidade $\sen(y) = \sqrt{1 - \cos^2(y)}$.
\[\begin{array}{rcl} \arccos'(x) & = & \arccos'(\cos(y))\\ & = & \frac{1}{cos'y}\\ & = & -\frac{1}{\sen y}\\ & = & - \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2y}}\\ & = & - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \end{array}\]