ATENÇÃO: Esta é uma apresentação alternativa, sem o conceito de integral (que dá uma maneira mais elegante ao processo). Vamos usar vários fatos sem demonstração formal - por exemplo, as séries que vão aparecer são absolutamente convergentes: deste fato seguirão diversos resultados que justificarão passagens “nebulosas” (por exemplo, a possibilidade de alterar a ordem dos termos da série). Mas, pelo menos, será apresentada uma ideia geral de fundamentação. Para quem quiser ver com mais detalhes, é recomendado seguir o caminho usando integral, que começa com a definição de logaritmo nesta lista.
Considere a seguinte função para $x \in \mathbb R$:
\[ \begin{array}{rcl} exp(x) & = & 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots\\ & = & \sum_{k = 0}^\infty \frac{x^k}{k!} \end{array} \]
Note que $exp(0) = 1$. É possível mostrar que, dados $x, y \in \mathbb R$, temos
\[exp(x + y) = exp(x)exp(y)\]
Defina $e = exp(1)$. Com a identidade acima, temos que $exp(2) = exp(1)exp(1) = e^2$. Na verdade, temos:
Lema Dado $k \in \mathbb N$, temos que $exp(k) = e^k$.
Dem.: Por indução sobre $k$. Caso $k = 0$ (ou caso $k = 1$ e $k = 2$) já temos. Suponha válido para $k$ e vamos provar para $k + 1$. Temos que \[exp(k + 1) = exp(k)exp(1) = e^k e = e^{k + 1}.\]
Lema Dado $k \in \mathbb N$, temos que $exp(-k) = \frac{1}{e^k}$.
Dem.: Basta notar que \[1 = exp(-k + k) = exp(-k)exp(k) = exp(-k)e^k\]
Corolário Para todo $z \in \mathbb Z$, temos que $exp(z) = e^z$.
Lema Para todo $k \in \mathbb N$, $exp(x)^k = exp(k x)$.
Dem.: Por indução sobre $k$. Caso $k + 1$, temos \[exp(x)^{k + 1} = exp(x)^k exp(x) = exp(kx)exp(x) = exp((k + 1)x).\]
Lema Para todo $n \in \mathbb N_{\neq 0}$, $exp{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{e}$
Dem.: Basta notar que $exp(\frac{1}{n})^n = e$.
Corolário Para todo $q \in \mathbb Q$, temos que $exp(q) = e^q$.
Dem.: Sejam $a, b \in \mathbb Z$, com $b > 0$ de forma que $q = \frac{a}{b}$. Note que \[exp(\frac{a}{b}) = exp(\frac{1}{b})^a = e^\frac{a}{b}\]
Pode-se mostrar que a função $exp(x)$ definida acima é contínua. Como já encontramos os valores para ela para todo $\mathbb Q$ em função de $e$, por continuidade, definimos $e^x = exp(x)$ para todo $x$.
Note que se tomarmos a expressão de $exp(x)$ dada acima e derivarmos termo a termo, obtemos a mesma expressão - e isso não é coincidência, de fato pode-se mostrar (mais) formalmente que \[(e^x)' = e^x\]