$\def\dom{\text{dom}}$
$\def\Im{\text{Im}}$
======== Um pouco sobre funções ========

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Dados dois conjuntos $A$ e $B$, indicamos por $f: A \to B$ uma **função** de $A$ em $B$. Desta forma estamos fazendo uma associação entre cada elemento de $A$ com um elemento de $B$. A notação é, dado $a \in A$, o elemento de $B$ associado é indicado por $f(a)$. Nessa situação, temos os seguintes nomes:

  * $A$ é o **domínio** de $f$. Indicamos por $\dom(f)$; 
  * $B$ é o **contra-domínio** de $f$;
  * Note que não necessariamente para todo $b \in B$ existe $a \in A$ tal que $f(a) = b$. A coleção dos $b$'s em que acontece isso chamamos de **imagem** de $f$. Isto é, a imagem de $f$ é o conjunto $\{b \in B:$ existe $a \in A\ f(a) = b\}$. Indicamos tal conjunto por $\Im(f)$.
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Do jeito que definimos, uma função pode ser feita entre quaisquer dois conjuntos. Por exemplo, poderíamos ter a função que associa a cada pessoa a sua altura - neste caso o domínio seria formado pelas pessoas e o contra-domínio pelos números reais. Mas aqui estaremos mais preocupados com **funções reais**: aquelas cujo domínio e contradomínio são subconjuntos dos reais.

**Exemplo** Considere $$f: \mathbb R \to \mathbb R$$ dada por $f(x) = x^2$. Note que $\Im(f) = \mathbb R_{\geq 0}$. 

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Fixada $f: A \to B$ ela pode ser:
  * **injetora**, que é quando elementos diferentes são associados a elementos diferentes. Isto é, se $x, y \in A$ são tais que $x \neq y$, então $f(x) \neq f(y)$;
  * **sobrejetora**, que é quando todos os elementos de $B$ estão associados a algum elemento de $A$. Em outras palavras, quando $\Im(f) = B$;
  * **bijetora**, que é quando a função é tanto injetora quanto sobrejetora.
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**Exemplo** A função $$f: \mathbb R \to \mathbb R$$ dada por $f(x) = 2x$ é bijetora. De fato:
  * é injetora, pois se $x \neq y$, então $2x \neq 2y$;
  * dado $b \in \mathbb R$, note que $f(\frac{b}{2}) = b$, logo $f$ é sobrejetora.

**Exemplo** A função $$f: \mathbb R \to \mathbb R$$ dada por $f(x) = x^2$ não é injetora. De fato, note que $f(-1) = f(1)$. Note também que, da forma apresentada, tal função também não é sobrejetora. 

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Considere $f: A \to B$ e $g: B \to C$. Denotamos por $g \circ f$ a função dada por $(g \circ f)(x) = g(f(x))$. Chamamos tal operação de composição de funções. 
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<WRAP tip>
É importante a ordem. Note que, na definição acima, primeiro aplicamos a $f$, depois aplicamos a $g$ ao resultado.
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**Exemplo** Considere $f: \mathbb R \to \mathbb R$ e $g: \mathbb R \to \mathbb R$ dadas por $f(x) = x^2$ e $g(x) = 3x$. Note que
  * $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = 3x^2$;
  * $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(3x) = 9x^2$.

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