Para resolvermos esse problema, devemos olhar para ambas as definições que serão utilizadas:
$$\textrm{Dizemos que} \lim_{x \to a} f(x) = +\infty \textrm{ se, e somente se, } \forall M > 0, \hspace{1mm} \exists \delta > 0 \textrm{ tal que } (0 < |x - a| < \delta \Rightarrow f(x) > M) \quad (1)$$
$$\textrm{Dizemos que} \lim_{x \to a} f(x) = L \textrm{ se, e somente se, } \forall \varepsilon > 0, \hspace{1mm} \exists \delta > 0 \textrm{ tal que } (0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon) \quad (2)$$

Bom, assumindo que $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$, vamos supor também que existe $L \in \mathbb{R}$ que satisfaz $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$. Ou seja, vale $(2)$. Porém, olhando agora para $(1)$, podemos escolher $M = \varepsilon + |L|$ daí, como $f(x) > M = \varepsilon + |L|$ segue que:

  - Se $L \geq 0$, $\varepsilon + |L| - L = \varepsilon$ e então $|f(x) - L| > |\varepsilon| = \varepsilon \Rightarrow \varepsilon < \varepsilon$, o que é um absurdo;
  - Se $L < 0$, $\varepsilon + |L| - L = \varepsilon + 2|L| > \varepsilon$ e então $|f(x) - L| > |\varepsilon + 2|L|| = \varepsilon + 2|L| \Rightarrow \varepsilon + 2|L| < \varepsilon$, o que é também um absurdo.

Portanto, assumir que existe um $L$ que satisfaça $(2)$ gera uma contradição, terminando assim a demonstração.