======== Soma e produto com limites infinitos ========

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Podemos estender o resultado [[limites:somaProduto|anterior]] para o caso de limites onde o "$x$ tende ao infinito":

**Proposição** Sejam $f, g$ funções reais tais que $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A$ e $\lim\limits_{x \to a} g(x) = B$ onde $A, B \in \mathbb R$ e $a$ pode tanto ser um valor real, como $+\infty$ ou $-\infty$.  Temos:
  * $\lim\limits_{x \to a} (f(x) + g(x)) = A + B$;
  * $\lim\limits_{x \to a} (f(x) g(x)) = AB$.

A demonstração da proposição acima é muito parecida com a original - tente escrever os casos novos.

O problema surge quando tentamos permitir que o $A$ e $B$ do enunciado também possam assumir valores $+\infty$ ou $-\infty$. Neste caso precisamos ser mais cuidadosos:

**Proposição** Sejam $f, g$ funções reais, $k$ um valor real e $a$ um valor real (ou podendo também ser $+\infty$ ou $-\infty$). Vale a seguinte tabela para o limite da soma ($\lim\limits_{x \to a} (f(x) + g(x))$):
<WRAP table>
^ ^ $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$ ^ $\lim\limits_{x \to a} f(x) = -\infty$ ^ $\lim\limits_{x \to a} f(x) = k$ ^
^ $\lim\limits_{x \to a} g(x) = +\infty$ |  $+\infty$  |  \o/  |  $+\infty$  |
^ $\lim\limits_{x \to a} g(x) = -\infty$ |  \o/  |  $-\infty$  |  $-\infty$  |
</WRAP>

<WRAP important>
Onde está marcado com \o/, você precisa ter atenção: o resultado não pode ser determinado no caso geral e você vai ter que analisar caso a caso (veja abaixo).
</WRAP>

**Dem.:** A título de exemplo, vamos provar o caso $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$ e $\lim\limits_{x \to a} g(x) = +\infty$ com $a \in \mathbb R$. Os outros casos ficam como exercício.

Seja $M > 0$. Sejam $\delta_1, \delta_2 > 0$ tais que
  * se $0 < |x - a| < \delta_1$, então $f(x) > M$;
  * se $0 < |x - a| < \delta_2$, então $g(x) > M$. 
Seja $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$. Note que, se $0< |x - a| < \delta$, então $f(x) + g(x) > 2M > M$.

<WRAP right>
$\square$
</WRAP>

**~~#~~** Complete a demonstração do resultado acima. 

Temos o resultado análogo para o produto:

**Proposição** Sejam $f, g$ funções reais, $k > 0$ um valor real e $a$ um valor real (ou podendo também ser $+\infty$ ou $-\infty$). Vale a seguinte tabela para o limite do produto ($\lim\limits_{x \to a} (f(x) g(x))$):
<WRAP table>
^ ^ $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$ ^ $\lim\limits_{x \to a} f(x) = -\infty$ ^ $\lim\limits_{x \to a} f(x) = k$ ^ $\lim\limits_{x \to a} f(x) = -k$ ^ 
^ $\lim\limits_{x \to a} g(x) = +\infty$ |  $+\infty$  |  $-\infty$  |  $+\infty$  |  $-\infty$  |
^ $\lim\limits_{x \to a} g(x) = -\infty$ |  $-\infty$  |  $+\infty$  |  $-\infty$  |  $+\infty$  |
</WRAP>

<WRAP important>
Note que não aparece o caso $k = 0$ - esse ganharia um \o/ como acima - veremos os exemplos abaixo.
</WRAP>

**Dem.:** Vamos fazer o caso $\lim\limits_{x \to a}f(x) = k$ e $\lim\limits_{x \to a} g(x) = +\infty$, com $a \in \mathbb R$. Sejam $M > 0$. Sejam $\delta_1, \delta_2 > 0$ tais que
  * se $0 < |x - a| < \delta_2$, então $f(x) > \frac{k}{2}$ (note que dá para fazer isso, pela definição de limite e por $k > 0$).
  * se $0 < |x - a| < \delta_1$, então $g(x) > \frac{M}{\frac{k}{2}}$; 
Seja $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$ e seja $x$ tal que $0 < |x - a| < \delta$. Temos
\[f(x)g(x) > \frac{k}{2}\frac{M}{\frac{k}{2}} = M\]

<WRAP right>
$\square$
</WRAP>
 
<WRAP tip>
Valem os resultados análogos aos anteriores com limites laterais.
</WRAP>

Vejamos agora exemplos para ilustrar que os casos não contemplados nos resultados anteriores de fato não eram conclusivos:

**Exemplo** Considere $f(x) = x$, $g(x) = -x^2$, $h(x) = 1 - x$ e $r(x) = \frac{1}{x}$. Temos
  * $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$;
  * $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$;
  * $\lim\limits_{x \to +\infty} h(x) = -\infty$;
  * $\lim\limits_{x \to +\infty} r(x) = 0$;
  * $\lim\limits_{x \to +\infty} (f(x) + g(x)) = -\infty$;
  * $\lim\limits_{x \to +\infty} (f(x) + h(x)) = 1$;
  * $\lim\limits_{x \to +\infty} (f(x)r(x)) = 1$;
  * $\lim\limits_{x \to +\infty} (g(x)r(x)) = -\infty$;

**~~#~~** Dê exemplos de funções $f$ e $g$ tais que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = 0$ e que:

**~~#.#~~** $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)g(x)= +\infty$

**~~#.#~~** $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)g(x)= 3$