======== Soma e produto ========

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Suponha que você já saiba lidar com limites de funções como $f(x) = x$ e $g(x) = 3$. Deveria haver uma maneira simples de se poder lidar com limites de funções como 
  * $h(x) = x + 3$
  * $p(x) = 3x$
  * $q(x) = x^2$
certo? Afinal, $h(x) = f(x) + g(x)$, $p(x) = f(x)g(x)$ e $q(x) = f(x)f(x)$. É exatamente sobre esse tipo de construção que vamos trabalhar agora.

**Proposição** Sejam $f, g$ funções reais tais que $\lim\limits_{x \to a} f(x) = A$ e $\lim\limits_{x \to a} g(x) = B$. Então temos:
  * $\lim\limits_{x \to a} (f(x) + g(x)) = A + B$;
  * $\lim\limits_{x \to a} (f(x) g(x)) = AB$.

**Dem.:**
  * Seja $\varepsilon > 0$. Precisamos mostrar que existe $\delta > 0$ tal que, para qualquer $x$ tal que $0 < |x - a| < \delta$, temos $|f(x) - (A + B)| < \varepsilon$. Por hipótese, existem $\delta_1, \delta_2 > 0$ tais que 

\[0< |x - a| < \delta_1 \Rightarrow |f(x) - A| < \frac{\varepsilon}{2}\]
\[0< |x - a| < \delta_2 \Rightarrow |g(x) - B| < \frac{\varepsilon}{2}.\]

Seja $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$. Seja $x$ tal que $0 < |x - a| < \delta$. Temos
\[
\begin{array}{rcl}
  |f(x) + g(x) - (A + B)| & \leq & |f(x) - A| + |g(x) - B|\\
 & < & \varepsilon\\
\end{array}\]
  * Seja $\varepsilon > 0$. Novamente, por hipótese, existem $\delta_1, \delta_2, \delta_3 > 0$ tais que 
\[0 < |x - a| < \delta_1 \Rightarrow |f(x) - A| < \frac{\varepsilon}{2 (1 + |B|)}\]
\[0 < |x - a| < \delta_2 \Rightarrow |g(x) - B| < \frac{\varepsilon}{2 (1 + |A|)}\]
\[0 < |x - a| < \delta_3 \Rightarrow |g(x) - B| < 1\]

Pela última desigualdade, temos, para $x$ tal que $0 < |x - a| < \delta_3$,
\[|g(x)| = |g(x) - B + B| \leq |g(x) - B| + |B| < 1 + |B|\]

Seja $\delta > 0$ tal que $\delta < \delta_1, \delta_2, \delta_3$. Seja $x \in \mathbb R$ tal que $0 < |x - a| < \delta$. Temos
\[
\begin{array}{rcl}
  |f(x)g(x) - AB| & = & |f(x)g(x) - Ag(x) + Ag(x) - AB|\\
& \leq & |f(x)g(x) - Ag(x)| + |Ag(x) - AB|\\
& = & |g(x)||f(x) - A| + |A||g(x) - B|\\
& < & |g(x)|\frac{\varepsilon}{2(1 + |B|)} + |A|\frac{\varepsilon}{2(1 + |A|)}\\
& < & (1 + |B|)\frac{\varepsilon}{2(1 + |B|)} + (1 + |A|)\frac{\varepsilon}{2(1 + |A|)}\\
& = & \varepsilon
\end{array}\]

<WRAP right>
$\square$
</WRAP>

**~~#~~** Usando a proposição acima, determine os seguintes limites:

**~~#.#~~** $\lim\limits_{x \to 4} x^2$;

**~~#.#~~** $\lim\limits_{x \to 2} x + 3$.

<WRAP tip>
Vale o resultado análogo ao da proposição acima se você trocar todos os limites por algum limite lateral (mas cuidado, troque sempre pelo mesmo limite lateral).
</WRAP>

**~~#~~** Tente fazer a demonstração de $\lim\limits_{x \to a^+} (f(x) + g(x)) = A + B$ se $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = A$ e $\lim\limits_{x \to a^+} g(x) = B$. 

<WRAP important>
Cuidado com o enunciado da proposição: uma maneira de se ler é "se os limites das parcelas existem, então o limite da soma existe e é igual à soma dos limites das parcelas". Cuidado com as existências (veja o exercício abaixo).
</WRAP>

**~~#~~** Considere 
  * $f(x) = 1$ se $x \geq 0$ e $f(x) = -1$ se $x < 0$;
  * $g(x) = -1$ se $x \geq 0$ e $g(x) = 1$ se $x < 0$.

**~~#~~** Note que não existem os limites $\lim\limits_{x \to 0}f(x)$ e $\lim\limits_{x \to 0}g(x)$.

**~~#~~** Note que existe o limite $\lim\limits_{x \to 0} (f(x) + g(x))$.

<WRAP tip>
Apresentamos o resultado aqui sem nos preocuparmos muito com os domínios das funções para não tirar o foco do que é mais importante no momento - mas se você quiser melhorar o resultado, veja [[dominio|aqui]] uma discussão. 
</WRAP>

[[lista:somaproduto|Exercícios]]