$\def\sen{\text{sen}}$
======== Teorema do sanduíche ========

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**Teorema** Sejam $f$, $g$ e $h$ funções reais tais que, para todo $x$ de seus domínios temos 
\[f(x) \leq g(x) \leq h(x)\]
Dado $a \in \mathbb R$ (também podendo ser $+\infty$ ou $-\infty$) temos que, se $\lim\limits_{x \to a}f(x) = \lim\limits_{x \to a}h(x) = k$, então $\lim\limits_{x \to a} g(x) = k$ (onde $k$ é um número real). 

**Dem.:** Vamos fazer o caso em que $a \in \mathbb R$, os outros casos são análogos. Fixe $\varepsilon > 0$. Como $\lim\limits_{x \to a}f(x) = \lim\limits_{x \to a}h(x) = k$, existem $\delta_1, \delta_2 > 0$ tais que 
\[0 < |x - a| < \delta_1 \Rightarrow |f(x) - k| < \varepsilon\]
\[0 < |x - a| < \delta_2 \Rightarrow |h(x) - k| < \varepsilon\]

Seja $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$. Seja $x$ tal que $0 < |x - a| < \delta$. Assim, temos que $-\varepsilon < f(x) - k < \varepsilon$. Em particular, $f(x) > k - \varepsilon$. Analogamente, temos $h(x) < \varepsilon + k$. Assim
\[k - \varepsilon < f(x) \leq g(x) \leq h(x) < \varepsilon + k\]
Ou seja, $-\varepsilon < g(x) - k < \varepsilon$. Isto é, $|g(x) - k| < \varepsilon$ como queríamos. 

<WRAP right>
$\square$
</WRAP>

<WRAP important>
Vale o resultado análogo com limites laterais.
</WRAP>

<WRAP tip>
Na prática usamos esse resultado da seguinte forma: temos uma função cujo limite não conhecemos - mas sabemos que essa função está entre outras duas, cujos limites não só sabemos, como são o mesmo. Assim, concluímos que o limite da função original é o mesmo das outras duas.
</WRAP>


**Exemplo** $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\sen(x)}{x}$. 
Note que $-\frac{1}{x} \leq \frac{1}{x}\sen(x) \leq \frac{1}{x}$ para $x > 0$. Note que as funções das pontas vão para $0$, logo a do meio também.


**Exemplo** Considere 
\[f(x) = \begin{cases}
1 & \mbox{se } x \in \mathbb Q\\
0 & \mbox{se } x \notin \mathbb Q 
\end{cases}\]

Note que não existe $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)$. Mas, $\lim\limits_{x \to 0^+} x f(x) = 0$. De fato, note que, para qualquer $x > 0$, temos
\[0 \leq xf(x) \leq x\]
Novamente, temos $\lim\limits_{x \to 0^+} 0 = 0$ e $\lim\limits_{x \to 0^+} x = 0$ e, assim, obtemos o resultado.

<WRAP tip>
Os exemplo anteriores nos dão uma ideia para provar algo mais geral. A única coisa especial que usamos sobre algumas funções é que elas são limitadas - vamos ver mais sobre isso depois.
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