$\def\dom{\text{dom}}$
======== Preservação de sinal ========

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Em algum sentido, o próximo resultado nos diz que se uma função contínua é positiva em determinado ponto, então há uma margem de segurança em que ela permanece positiva. 

** Teorema ** Seja $f$ uma função contínua. Se existe $c \in I$ tal que $f(c) > 0$, então existe $\delta > 0$ tal que, para todo $x \in ]c - \delta, c + \delta[ \cap \dom(f)$, $f(x) > 0$.

** Dem.:** Seja $k = f(c)$. Sabemos que $k > 0$. Vamos usar o fato que $f$ é contínua, tomando $\varepsilon = \frac{k}{2}$: seja $\delta > 0$ tal que, para todo $x$ no domínio de $f$ tal que $|x - c| < \delta$, temos que $|f(x) - f(c)| < \varepsilon$. Vamos mostrar que $f(x) > 0$ para todo $x \in \dom(f)$ tal que $|x - c| < \delta$. Dado $x$ nessas condições, temos dois casos: $f(x) \geq f(c)$ e $f(x) < f(c)$. Caso $f(x) \geq f(c)$, terminamos já que $f(c) > 0$. Caso $f(x) < f(c)$, temos que $|f(x) - f(c)| = f(c) - f(x)$. Assim, $f(c) - f(x) < \varepsilon$. Logo, $f(x) > f(c) - \varepsilon > f(c) - \frac{f(c)}{2} > 0$.  

Assim, para qualquer $x \in ]c - \delta, c + \delta[ \cap \dom(f)$, temos que $f(x) > 0$ como queríamos. <wrap right> $\square$ </wrap>


**Corolário** Seja $f$ uma função contínua. Se existe $c \in I$ tal que $f(c) \neq 0$, então existe $\delta > 0$, tal que, para todo $x \in ]c - \delta, c + \delta[ \cap \dom(f)$, $f(x)$ "tem o mesmo sinal" que $f(c)$.

**Dem.:** No caso que $f(c) > 0$, é simplesmente o teorema anterior. No caso em que $f(c) < 0$, basta trabalhar com $-f$ no teorema anterior. <wrap right>$\square$</wrap>

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O resultado anterior muitas vezes é usado para se mostrar que uma função é não nula num intervalo: se em algum ponto ela vale algo diferente de $0$, existe um intervalo em volta deste ponto onde ela é diferente de $0$.
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**Exemplo** Sejam $f, g: \mathbb R \to \mathbb R$ funções contínuas. Suponha que exista $a \in \mathbb R$ tal que $f(a) > 0$ e $g(a) < 0$. Então existe um intervalo aberto $I$ não vazio tal que $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ está definida para todo $x \in I$ e $h(x) < 0$. De fato, pelo resultado acima, existem $\delta_f, \delta_g > 0$ tais que, para todo $x$:
  * se $x \in ]a - \delta_f, a + \delta_f[$, então $f(x) > 0$;
  * se $x \in ]a - \delta_g, a + \delta_g[$, então $g(x) < 0$ (e, em particular, $g(x) \neq 0$). 
Assim, o intervalo $I = ]a - \delta, a + \delta[$, onde $\delta = \min\{\delta_f, \delta_g\}$ satisfaz o que desejamos.


**Exemplo** A hipótese que a função seja contínua é essencial. Por exemplo, considere a função
\[f(x) = \begin{cases}
1 & \mbox{se } x \geq 0\\
-1 & \mbox{se } x < 0\\
\end{cases}\]
Note que, apesar de $f(0) = 1$, não existe $\delta > 0$ tal que $f(x) > 0$ para todo $x \in ]0 - \delta, 0 + \delta[$. 


**~~#~~** Sejam $f$ função contínua e $k \in \mathbb R$. Suponha que exista $a$ tal que $f(a) > k$. Mostre que existe um intervalo aberto $I$ não vazio tal que para todo $x \in I$, $f(x) > k$.