$\def\dom{\text{dom}}$
======== Funções contínuas ========
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Vimos como definir funções contínuas usando [[limites:funcoesContinuas|limites]]. Vamos agora ver um modo alternativo de definir continuidade, mas de uma maneira que é mais fácil de generalizar para outros contextos. Antes de conseguir fazer a definição propriamente dita, precisamos de um conceito base:

<WRAP info>
Dizemos que um conjunto $A \subset \mathbb R$ é **aberto** se, para todo ponto $x \in A$, existe $r > 0$ tal que $]x - r, x + r[ \subset A$. 
</WRAP>

**Exemplo** Considere o conjunto $]2, 5[$. Tal conjunto é aberto: de fato, dado $x \in ]2, 5[$, basta tomar $r = \min\{5 - x, x - 2\}$ e notar que $]x - r, x + r[ \subset ]2, 5[$.


**~~#~~** Mostre que $]0, 2[ \cup ]4, 7[$ é aberto. 

**~~#~~** Mostre que $[0, 1[$ não é aberto.

<WRAP tip>
A ideia de um conjunto aberto é que todos os seus pontos cabem com uma certa folga dentro próprio conjunto.
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que se $A$ e $B$ são abertos, então $A \cap B$ e $A \cup B$ também são abertos.

<WRAP info>
Dados $f$ uma função real e $Y \subset \mathbb R$, denotamos por $f^{-1}[Y] = \{x \in \dom(f): f(x) \in Y\}$.
</WRAP>

<WRAP important>
Cuidado na notação anterior, isso não quer dizer que $f$ tenha uma inversa.
</WRAP>

**Proposição** Seja $f: \mathbb R \to \mathbb R$. Então $f$ é contínua se, e somente se, para todo $A$ aberto, $f^{-1}[A]$ é aberto.


**Dem.:** Primeiro suponha que $f$ seja contínua. Seja $A$ um aberto. Seja $x \in f^{-1}[A]$ (ou seja, $f(x) \in A$). Precisamos mostrar que existe $r > 0$ tal que $]x - r, x + r[ \subset f^{-1}[A]$. Note que essa última inclusão nada mais é que dizer, para todo $z \in ]x - r, x + r[$, $f(z) \in A$. Vamos então mostrar isso. Como $f(x) \in A$ e $A$ é aberto, existe $s > 0$ tal que $]f(x) - s, f(x) + s[ \subset A$. Como $f$ é contínua, existe $\delta > 0$ tal que, se $|z - x| < \delta$, então $|f(z) - f(x)| < s$. Ou seja, tomando $r = \delta$, funciona, pois dado $z \in ]x - r, x + r[$, isso quer dizer que $|z - x| < \delta$. Assim, $|f(z) - f(x)| < s$. O que quer dizer que $f(z) \in ]f(x) - s, f(x) + s[$. Como $]f(x) -s, f(x) + s[ \subset A$, temos que $f(z) \in A$ como queríamos.

Agora suponha que $f^{-1}[A]$ é aberto para todo $A$ aberto. Vamos mostrar que $f$ é contínua em todo ponto $x$. Seja $\varepsilon > 0$. Note que $A = ]f(x) - \varepsilon, f(x) + \varepsilon[$ é aberto. Assim, $f^{-1}[A]$ é aberto. Logo, existe $r > 0$ tal que $]x - r, x + r[ \subset f^{-1}[A]$. Vamos tomar $\delta = r$. Assim, dado $z$ tal que $|x - z| < \delta$, temos que $z \in ]x - r, x + r[$. Assim, $z \in f^[A]$. Ou seja, $f(z) \in ]f(x) - \varepsilon, f(x) + \varepsilon[$. Mas isso nada mais quer dizer que $|f(z) - f(x)| < \varepsilon$, como queríamos. 

<WRAP right>
$\square$
</WRAP>

Em contextos mais gerais, o enunciado anterior é a própria definição de um função ser contínua (ou seja, o que a gente acabou de mostrar foi que essa ideia mais geral coincide com o caso particular mais comum visto em cursos de Cálculo. 

<WRAP important>
Num contexto mais geral, temos uma coleção fixada de quem são os abertos - daí com eles definimos o que é uma função ser contínua.
</WRAP>

Mas, obviamente, de nada adiantaria ter uma definição assim, "mais estranha", se ela não tivesse vantagens. Para apresentar uma, vamos reprovar um resultado que temos, mas usando essa caracterização:

**Proposição** Sejam $f$ e $g$ funções contínuas. Então $f \circ g$ é contínua.

**Dem.:** Só precisamos mostrar que $(f \circ g)^{-1}[A]$ é aberto para todo $A$ aberto. Note que $f^{-1}[A]$ é aberto, pois $f$ é contínua. Então $g^{-1}[f^{-1}[A]]$ também é aberto (agora pela continuidade de $g$). Como $(f \circ g)^{-1}[A] = g^{-1}[f^{-1}[A]]$, temos o resultado.

<WRAP right>
$\square$
</WRAP>