$\def\sen{\text{sen}}$
======== Integral por partes ========

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**Proposição** Sejam $u, v: [a, b] \to \mathbb R$ funções com a primeira derivada contínua. Temos
\[\int_a^b u(x)v'(x) dx = u(x)v(x)|_a^b - \int_a^b v(x)u'(x)dx.\]

**Dem.:** Como $u(x)v(x)$ é primitiva de $u(x)v'(x) + u'(x)v(x)$, temos que
\[u(x)v(x)|_a^b = \int_a^b u(x)v'(x) + u'(x)v(x)dx.\]<wrap right>$\square$</wrap>

<WRAP tip>
Jeito mnemônico: $\int udv = uv - \int vdu$.  
</WRAP>

**Exemplo** Considere $\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos x dx$. Façamos $u(x) = x$ e $v'(x) = \cos x$. Assim, $u'(x) = 1$ e $v(x) = \sen(x)$. Desta forma, temos:
\[\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos xdx = x\sen x|_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \sen(x)dx = x \sen x|_0^{\frac{\pi}{2}} + \cos x |_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} - 1.\] 

**Exemplo** Considere $\int_a^b \cos x \sen x dx$. Façamos $u(x) = \sen(x)$ e $dv = \cos(x)$. Assim, $du(x) = \cos(x)$ e $v = \sen(x)$. Assim
\[\int_a^b \cos x \sen x dx = \sen^2(x)|_a^b - \int_a^b \cos(x)\sen(x) dx\]
Logo, $\int_a^b \cos x \sen x dx = \frac{1}{2} \sen^2(x)|_a^b$. 

**~~#~~** Verifique a última igualdade, derivando a resposta.

**Exemplo** Considere $\int_a^b \cos^2xdx.$ Façamos $u(x) = \cos(x)$ e $v'(x) = \cos(x)$. Assim $u'(x) = -\sen x$ e $v = \sen x$. Assim:
\[\int_a^b \cos^2 x dx = \cos(x) \sen(x)|_a^b + \int_a^b \sen^2xdx = \cos(x) \sen(x)|_a^b + \int_a^b(1 - \cos^2 x )dx = (\cos(x) \sen(x) + x)|_a^b - \int_a^b \cos^2(x) dx\]
Logo, 
\[\int_a^b \cos^2 dx = \frac{1}{2} (\cos(x) \sen(x) + x)|_a^b.\]


**Exemplo** Considere $\int_a^b x^3 \cos(x) dx$. Façamos $u(x) = x^3$ e $dv = \cos x$. Assim, $du(x) = 3x^2$ e $v = \sen(x)$. Assim
\[\int_a^b x^3 \cos x dx = x^3 \sen(x)|_a^b - \int_a^b 3x^2 \sen(x)dx = x^3 \sen(x)|_a^b - 3\int_a^b x^2 \sen(x)dx.\]
Vamos novamente resolver por partes, fazendo $u(x) = x^2$ e $dv(x) = \sen(x)$. Assim, $du(x) = 2x$ e $v(x) = -\cos(x)$. Assim
\[\int_a^b x^2 \sen(x)dx = -x^2\cos(x)|_a^b + \int_a^b 2x \cos x dx = -x^2\cos(x)|_a^b + 2\int_a^b x\cos(x) dx.\]
Essa última parte já calculamos, 
\[\int_a^b x \cos x dx = (x\sen x + \cos(x))|_a^b.\]
Assim, juntando tudo
\[\int_a^b x^3 \cos x dx = x^3 \sen(x)|_a^b - 3(-x^2 \cos x|_a^b + 2(x\sen x + \cos x)|_a^b).\]

**~~#~~** Verifique a última igualdade, derivando a resposta.