$\def\sen{\text{sen}}$
======== Mudança de variável ========

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**Teorema (Mudança de variável)** Sejam $f$ integrável e $\varphi$ diferenciável. Então 
\[\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x) dx = \int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)dt\]

**Dem.:** Seja $F$ uma primitiva de $f$. Assim
\[\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x) dx = F(\varphi(b)) - F(\varphi(a)).\]
Note que $F(\varphi(t))' = F'(\varphi(t))\varphi'(t) = f(\varphi(t))\varphi'(t)$. Ou seja, $F(\varphi(t))$ é uma primitiva de $f(\varphi(t))\varphi'(t)$. Logo
\[\int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)dt = F(\varphi(t))|_a^b = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)dx\]<wrap right>$\square$</wrap>

<WRAP tip>
Informalmente, a gente "calcula" quanto é o $du$ da mudança de variável. Isso é uma maneira de lembrar a conta, não exatamente um argumento formal.
</WRAP>

**Exemplo** Considere $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sen^2x \cos x dx$. Fazendo $u = \sen(x)$, temos que $du = cos(x)dx$. Além disso, para $x = 0$, $u = \sen(0) = 0$ e, para $x = \frac{\pi}{2}$, $u = \sen(\frac{\pi}{2}) = 1$. Assim
\[\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sen^2x \cos x dx = \int_0^1 u^2 du = \frac{1}{3} u^3 |_0^1 = \frac{1}{3}\] 

**Exemplo** Considere $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}  \sen(x^3)x^2dx$ Fazendo $t = x^3$, temos que $dt = 3x^2 dx$. Além disso, para $x = 0$, $t = 0$ e, para $x = \frac{\pi}{2}$, $t = \frac{\pi^3}{8}$. Assim
\[\int_0^\frac{\pi}{2} \sen(x^3)x^2dx = \int_0^{\frac{\pi^3}{8}} \frac{1}{3} \sen(u)du = \frac{1}{3}(-\cos(\frac{\pi^3}{8}) + 1)\]