======== Logaritmos ========

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Nosso objetivo agora é definir a função logaritmo. O caminho vai ser bem indireto e a sua conexão com as funções com as quais já estamos acostumados vai vir só depois.
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Vamos definir a seguinte função $F: ]0, +\infty[ \to \mathbb R$ dada por 
\[F(x) = \int_1^x\frac{1}{t}dt\]

Começamos provando algumas propriedades sobre ela:

**Proposição** Sejam $a, b, c > 0$. Então 
\[\int_{ac}^{bc} \frac{1}{t}dt = \int_a^b \frac{1}{t}dt.\]

**Dem.:** Fazendo a mudança $v(t) = ct$, temos que $dv = cdt$. Assim
\[\int_a^b \frac{1}{t} dt = \int_a^b \frac{c}{ct}dt = \int_{ac}^{bc} \frac{1}{v}dv.\]<wrap right>$\square$</wrap>

**Proposição** $\frac{1}{2} < F(2) < 1$.  

**Dem.:** Observe a seguinte figura e compare algumas áreas nela.
{{ :integral:comparando.png?200 |}}
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**Proposição** $F(2^n) > \frac{n}{2}$.

**Dem.:** Note que, pelo primeiro lema, temos para qualquer $1 \leq j \leq n$, 
\[\int_{2^j}^{2^{j + 1}} \frac{1}{t}dt = \int_1^2 \frac{1}{t}dt\]
Logo, pelo segundo lema, temos:
\[F(2^n) = \int_1^{2^n} \frac{1}{t}dt = \sum_{j = 1}^n \int_{2^{j - 1}}^{2^j} \frac{1}{t} dt = \sum_{j = 1}^n \int_1^2 \frac{1}{t}dt > \sum_{j = 1}^n \frac{1}{2} = \frac{n}{2}\]<wrap right>$\square$</wrap>

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Com isso podemos definir o número real $e$:
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**Proposição** Existe um único real, que chamaremos de $e$, tal que $F(e) = 1$.

**Dem.:** Primeiramente, note que $F(4) = F(2^2) > 1$. Note também que $F(2) < 1 < F(4)$. Como $F$ é contínua, existe $e \in \mathbb R$ tal que $F(e) = 1$. A unicidade segue do fato que $F'(x) = \frac{1}{x} > 0$ e, portanto, $F$ ser uma função estritamente crescente. <wrap right>$\square$</wrap> 

<WRAP info>
A função $F$ será a função logaritmo - apesar do motivo disso ainda não estar claro. Como os próximos resultados precisarão ser referenciados no futuro, vamos já usar a notação $\ln(x) = F(x) = \int_1^x \frac{1}{x}dx$.  
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**Proposição** Dados $x, y > 0$, temos que 
  * $\ln xy = \ln x + \ln y$;
  * $\ln \frac{1}{x} = - \ln x$;
  * $\ln \frac{x}{y} = \ln x - \ln y$.

**Dem.:** 
  * $\ln xy  = \int_1^{xy}\frac{1}{t}dt = \int_1^x \frac{1}{t}dt + \int_x^{xy}\frac{1}{t}dt = \int_1^x \frac{1}{t}dt + \int_1^{y}\frac{1}{t}dt$.
  * Note que $\ln \frac{1}{x} + \ln x = \ln(\frac{1}{x} x) = 0$.
  * $\ln \frac{x}{y} = \ln x \frac{1}{y} = \ln x + \ln \frac{1}{y} = \ln x - \ln y$. <wrap right>$\square$</wrap>

**Proposição** Dados $x > 0$ e $n \in \mathbb N$, temos:
  * $\ln x^n = n \ln x$;
  * $\ln x^\frac{1}{n} = \frac{1}{n} \ln x$, se $n \neq 0$.

**Dem.:** 
  * $\ln x^n = \ln x + \ln x^{n - 1} = \cdots = n \ln x$.
  * Como $(x^{\frac{1}{n}})^n = x$, temos $n\ln x^{\frac{1}{n}} = \ln x$.<wrap right>$\square$</wrap>

**Proposição** Dados $x > 0$ e $r \in \mathbb Q$ temos $\ln x^r = r \ln x$.

**Dem.:** Note que, caso $r = 0$, temos que o resultado vale. Suponha $r = \frac{m}{n}$ com $m, n \in \mathbb N$. Então $\ln x^{\frac{m}{n}} = \ln (x^m)^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n} \ln x^m = \frac{m}{n} \ln x$. Caso $r < 0$, temos $\ln x^r = \ln (x^{-1})^{-r} = -r \ln \frac{1}{x} = r \ln x$. <wrap right>$\square$</wrap>

**Proposição** $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$.

**Dem.:** Seja $L > 0$. Sejam $n > 2L$ e $K > 2^n$. Temos, para $x > K$:
\[\ln x > \ln 2^n > \frac{n}{2} > L.\]<wrap right>$\square$</wrap>

**Proposição** $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = - \infty$.

**Dem.:** Defina $a = \frac{1}{x}$. Assim:
\[\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = \lim\limits_{a \to +\infty} \ln\frac{1}{a} = \lim\limits_{a \to +\infty} -\ln a = -\infty\]<wrap right>$\square$</wrap>