======== Exponencial ========

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Como $\ln x$ é estritamente crescente, faz sentido a seguinte definição:

<WRAP info>
Chamaremos de $\exp: \mathbb R \to ]0, +\infty[$ a inversa da função $\ln: ]0, +\infty[ \to \mathbb R$. Ou seja, $y = \exp x$ se, e somente se, $x = \ln y$. 
</WRAP>

<WRAP tip>
Note que $\exp 1 = e$ e $\exp 0 = 1$.  
</WRAP>

**Proposição** Dados $x, y \in \mathbb R$, temos que $\exp(x + y) = \exp x \exp y$.

**Dem.:** Sejam $a = \exp x$ e $b = \exp y$. Note que $x = \ln a$ e $y = \ln b$. Assim
\[\exp(x + y) = \exp(\ln a + \ln b) = \exp(\ln(ab)) = ab = \exp x \exp y.\] <wrap right>$\square$</wrap>

**Proposição** Dados $x \in \mathbb R$ e $q \in \mathbb Q$, temos que $(\exp x)^q = \exp(xq)$.

**Dem.:** Se $q = 0$, temos que ambos os lados da igualdade valem $1$. Se $q \in \mathbb N$ e $q > 0$, temos que o resultado vale pelo resultado anterior. Note também que, dado $n > 0$, temos que 
\[(\exp \frac{x}{n})^n = \exp(n \frac{x}{n}) = \exp x.\]
Assim, 
\[(\exp x)^{\frac{1}{n}} = \exp \frac{x}{n}.\]

Juntando esses resultados, temos que se $q = \frac{a}{b}$ de forma que $a, b \in \mathbb N_> 0$, temos
\[(\exp x)^{\frac{a}{b}} = ((\exp x)^a)^{\frac{1}{b}} = (\exp(ax))^{\frac{1}{b}} = \exp(\frac{a}{b}x).\]

Caso $r < 0$, temos:
\[\exp(rx)(\exp(x))^{-r} = \exp(rx)\exp(-rx) = \exp(rx - rx) = 1.\]
Isto é, $\exp(rx) = ((\exp(x))^{-r})^{-1} = (\exp(x))^r$.<wrap right>$\square$</wrap>

<WRAP tip>
Note que $\exp(r) = \exp(1r) = (\exp(1))^r = e^r$.
</WRAP>

Pela última observação, faz sentido a seguinte definição:

<WRAP info>
Para qualquer $x \in \mathbb R$, definimos $e^x = \exp x$ (pela última observação, isso é coerente com a notação anterior). 
</WRAP>

**Proposição** Dado $x \in \mathbb R$, temos $(e^x)' = e^x$.

**Dem.:** Seja $y = e^x$. Então $x = \ln y$. [[derivada:invertendo|Assim]]
\[(e^x)' = (\ln^{-1}x)' = \frac{1}{\ln'(y)} = \frac{1}{\frac{1}{y}} = y = e^x.\] <wrap right>$\square$</wrap>

<WRAP tip>
Dado $a > 0$, temos que $a = e^{\ln a}$ (pois uma é inversa da outra). Assim, dado $q \in \mathbb Q$, temos que $a^q = (e^{\ln a})^q = e^{q \ln a}$. 
</WRAP>

Pela última observação, faz sentido a seguinte definição:

<WRAP info>
Dados $a > 0$ e $x \in \mathbb R$, definimos $a^x = e^{x \ln a}$.
</WRAP>

**Proposição** Sejam $a > 0$ e $x \in \mathbb R$. ($a$ fixo, $x$ variável) Então 
\[(a^x)' = a^x \ln a.\]

**Dem.:** Temos $(a^x)' = (e^{x\ln a})' = e^{x\ln a}\ln a = a^x \ln a$ <wrap right>$\square$</wrap>

**Proposição** Se $a > 0$ e $b, c \in \mathbb R$, temos:

  * $(a^b)^c  = a^{bc}$;
  * $a^{b + c} = a^b a^c$.

**Dem.:** 

  * $(a^b)^c = e^{c \ln a^b} = e^{bc \ln a} = a^{bc}$;
  * $a^{b + c} = e^{(b + c)\ln a} = e^{b\ln a + c \ln a} = e^{b \ln a} e^{c \ln a} = a^b a^c$. <wrap right>$\square$</wrap>

<WRAP tip>
Finalmente, temos a regra do tombo em todo o seu esplendor,
</WRAP> 

**Proposição** Considere $f: ]0, + \infty[ \to \mathbb R$ dada por $f(x) = x^c$, onde $c \in \mathbb R$. Temos que $f'(x) = c x^{c - 1}$.

**Dem.:** $(x^c)' = (e^{c \ln x})' = e^{c \ln x}c \frac{1}{x} = c x^{-1}e^{c \ln x} = c x^{-1}x^{c} = c x^{c - 1}$.  <wrap right>$\square$</wrap>