======== O número $e$ é irracional ========

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Podemos usar o [[derivada:taylor|polinômio de Taylor]] para aproximar o valor de $e$.
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Considere o polinômio de Taylor de grau $n$ centrado em $0$ da função $f(x) = e^x$:

\[\begin{array}{rcl}
p(x) & = & f(0) + f'(0)(x - 0) + f''(0)\frac{(x - 0)^2}{2} + \cdots + f^{(n)}\frac{(x - 0)^n}{n!}\\
& = & 1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n!}.
\end{array}\]

Com isso, podemos mostrar o seguinte resultado:

**Proposição** O número $e$ é irracional.

**Dem.:** Pela fórmula de Taylor existe $\sigma$ entre $0$ e $x$ tal que
\[e^x = 1 + x + \frac{x}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \frac{e^\sigma}{(n + 1)!}\]

Tomando-se $x = 1$, obtém-se
\[e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n!} + \frac{e^\sigma}{(n + 1)!}\]

Suponha por absurdo que $e = \frac{a}{b}$, com $a, b \in \mathbb Z$, $b \neq 0$. Vamos tomar o $n$ arbitrário acima como sendo maior que $b$ e que $4$. Assim, ao multiplicar a expressão acima por $n!$ de ambos os lados, obtemos:
 \[\frac{n!a}{b} = n! + n! + \frac{n!}{2!} + \cdots + \frac{n!}{n!} + \frac{e^\sigma}{n + 1}.\]

Note que:
  * como $n > b$, $\frac{n!a}{b}$ é um número inteiro;
  * cada $\frac{n!}{j!}$ com $j \leq n$ também é inteiro. 

Com isso, o último termo da igualdade acima, $\frac{e^\sigma}{n + 1}$, também precisa ser inteiro. Mas note que
\[0 < \frac{e^\sigma}{n + 1} < \frac{4}{n + 1} < 1\]
o que é uma contradição. <wrap right>$\square$</wrap>