===== Mais exponencial e logaritmo (versão sem integral) =====

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Note que $e^x > 0$ para qualquer $x$. Assim, como $(e^x)' = e^x$, temos que $e^x$ é uma função estritamente crescente e, portanto, admite uma inversa. Vamos chamar tal inversa de $\ln x$. 
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Diretamente da definição acima, temos:


**Proposição**
  * $\ln 1 = 0$.
  * $\ln x$ é estritamente crescente e é tal que $\ln: ]0, +\infty[ \to \mathbb R$.
  * $e^{\ln x} = x$
  * $\ln e^x = x$. 


Conseguimos também calcular a derivada de $\ln x$ (usando essa [[derivada:invertendo|lista]]):

**Proposição** Dado $x > 0$, temos que $\ln'(x) = \frac{1}{x}$.

**Dem.:** Seja $x \in ]0, +\infty[$. Seja $y$ tal que $e^y = x$. Então $(\ln x)' = \frac{1}{(e^y)'} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$. 


Com o resultado acima, mais o fato que $\ln 1 = 0$, temos que

**Proposição** Dado $x > 0$, temos que $\ln x < 0$ se $x < 1$ e que $\ln x > 0$ se $x > 1$. 

<WRAP tip>

Note que, dado $a > 0$, poderíamos fazer o seguinte:

\[e^{x\ln a} = (e^{\ln a})^x = a^x\]

Isso motiva definirmos:

\[a^x := e^{x\ln a}\]
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**Proposição** Dado $a > 0$, $(a^x)' = a^x \ln a$.

**Dem.:**
\[(a^x)' = (e^{x\ln a})' = \ln a e^{x\ln a} = a^x \ln a.\]
  
<WRAP tip>
Com o resultado acima, podemos facilmente determinar o crescimento de $a^x$ - note que $a^x > 0$ para todo $x$. Assim, o ``sinal'' da expressão acima é dado simplesmente pelo sinal de $\ln a$. Assim, temos que $a^x$ é estritamente crescente para $a > 1$ e estritamente decrescente para $a < 1$.
</WRAP>

**Proposição** Sejam $a \in \mathbb R_{>0}$ e $b, c \in \mathbb R$. Então
  * $(a^b)^c = a^{bc}$;
  * $a^{b + c} = a^ba^c$.

**Dem.:**
  * $(a^b)^c = e^{c\ln (a^b)} = e^{bc \ln(a)} = a^{bc}$.
  * $a^ba^c = e^{b\ln a}e^{c \ln a} = e^{(b + c)\ln a} = a^{b + c}$.

**Proposição (Regra do tombo)** Considere $f: \mathbb R_{>0} \to \mathbb R$ dada por $x^r$, temos que $f'(x) = rx^{r - 1}$ para qualquer $r \in \mathbb R$. 

**Dem.:** 
\[(x^r)' = (e^{r \ln x})' = e^{r\ln x}\frac{r}{x} = \frac{r}{x}x^r = rx^{r - 1}.\]