$\def\sen{\text{sen}}$
======== Vamos dividir? ========

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Começamos com o seguinte caso particular:

**Proposição** $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$, para $x \neq 0$. 

**Dem.:** 
\[\begin{array}{rcl}
(\frac{1}{x})' & = & \lim\limits_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h}\\
& = & \lim\limits_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h}\frac{(x + h)x}{(x + h)x}\\
& = & \lim\limits_{h \to 0} \frac{x - x - h}{hx(x + h)}\\
& = & \lim\limits_{h \to 0} \frac{-1}{x^2 + hx}\\
& = & -\frac{1}{x^2}
\end{array}\]<wrap right>$\square$</wrap>

**Proposição** Para $n \geq 1$ vale $(x^{-n})' = -n x^{-n - 1}$ para $x \neq 0$.

**Dem.:** Considere $g(a) = \frac{1}{a}$ e $f(b) = x^n$. Assim
\[\begin{array}{rcl}
(x^{-n})' & = & (g(f(x)))' \\
& = & g'(f(x))f'(x) \\
& = & -\frac{1}{f(x)^2}n x^{n - 1}\\
& = & - n \frac{1}{x^{2n}} x^{n - 1}\\
& = & -n x^{-n - 1}
\end{array}\]<wrap right>$\square$</wrap>

<WRAP tip>
Assim, a "regra to tombo", que funcionava para expoentes positivos, funciona também para os negativos.
</WRAP>

**Corolário** Para qualquer $n \in \mathbb Z$, $(x^n)' = n x^{n - 1}$ (pedindo $x \neq 0$ se $n < 0$). 


<WRAP tip>
Vamos agora generalizar isso.
</WRAP>

**Proposição** Seja $f$ diferenciável em $x_0$ tal que $f(x_0) \neq 0$. Então $(\frac{1}{f(x_0)})' = -\frac{f'(x_0)}{f(x_0)^2}$.

**Dem.:** Considere $g(a) = \frac{1}{a}$ para $a \neq 0$. Então
\[(\frac{1}{f(x_0)})' = (g(f(x_0)))' = g'(f(x_0))f'(x_0) = -\frac{1}{(f(x_0))^2} f'(x_0) = -\frac{f'(x_0)}{f(x_0)^2}\]<wrap right>$\square$</wrap>

<WRAP tip>
Com tudo isso, obtemos a **regra do quociente**:
</WRAP>

**Proposição** $(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}$ (quando $g(x) \neq 0$).

**Dem.:** Temos
\[\begin{array}{rcl}
(\frac{f(x)}{g(x)})' & = & f'(x)\frac{1}{g(x)} + f(x)(\frac{1}{g(x)})'\\
& = & \frac{f'(x)}{g(x)} - f(x) \frac{g'(x)}{g^2(x)}\\
& = & \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}\\
\end{array}\]<wrap right>$\square$</wrap>

**Exemplo** 
\[\begin{array}{rcl}
\tan(x)' & = & (\frac{\sen(x)}{\cos(x)})'\\
& = & \frac{\cos(x)\cos(x) + \sen(x)\sen(x)}{\cos^2(x)}\\
& = & \frac{1}{\cos^2(x)}
\end{array}\]