$\def\sen{\text{sen}}$
======== Convexidade ========

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<WRAP info>
Dizemos que $A \subset \mathbb R^2$ é **convexo** se, para quaisquer $x, y \in A$, $\lambda x + (1 - \lambda)y \in A$ para todo $\lambda \in [0, 1]$. 
</WRAP>

<WRAP tip>
A ideia é que o segmento de reta determinado por $x, y$ esteja inteiramente contido em $A$ - note que essa definição pode ser generalizada facilmente para diversos outros espaços (por exemplo, $\mathbb R^n$).
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que intersecção de convexos é convexa.

<WRAP info>
Dizemos que uma função contínua $f: I \to \mathbb R$ é uma **função convexa** se $\{(x, y) \in \mathbb R^2: y \geq f(x)\}$ é convexo. 
</WRAP>

<WRAP tip>
  * A ideia é que a "região acima do gráfico" da função seja convexa;
  * Problemas para lembrar se é a região acima ou abaixo do gráfico?  Tente guardar que $f(x) = x^2$ é convexa.
</WRAP>

**Proposição** Seja $f: I \to \mathbb R$ uma função diferenciável. Então $f$ é convexa se, e somente se, $f'$ for crescente.

**Dem.:** Vamos começar procurando um critério para a convexidade de $f$. Note que se $a < b$, então a reta que liga $f(a)$ a $f(b)$ é formada pelos pontos $(z, w)$, onde 
\[w = f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a} (z - a)\]

Assim, $f$ é convexa se, e somente se, para qualquer $a < x < b$
  
\[f(x) \leq f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a} (x - a)\]

Ou seja, 

\[\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \leq \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]

Por outro lado, podemos descrever a reta que liga $f(a)$ e $f(b)$ pelos pontos $(z, w)$ da forma
\[w = f(b) + \frac{f(a) - f(b)}{b - a} (b - z)\]

Assim, $f$ será convexa se, e somente se, para qualquer $a < x < b$
\[f(x) \leq f(b) + \frac{f(a) - f(b)}{b - a} (b - x).\]

Ou seja,

\[\frac{f(b) - f(x)}{x - b} \leq \frac{f(a) - f(b)}{b - a}.\]

Multiplicado por $(-1)$ dos dois lados, obtemos:

\[\frac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq \frac{f(x) - f(b)}{x - b}.\]


Juntando tudo, temos

\[\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \leq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq \frac{f(x) - f(b)}{x - b}\]

Agora vamos usar as desigualdades acima para mostrar o resultado. Primeiramente, suponha $f$ convexa. Assim, vale a expressão anterior. Como $f$ é diferenciável, fazendo $x \to a$ e $x \to b$ em cada lado da expressão, obtemos:
\[f'(a) \leq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq f'(b)\]
Ou seja, $f'$ é crescente. 

Agora suponha $f'$ crescente. Só precisamos mostrar que vale a expressão acima. Primeiramente, note que só precisamos mostrar que, dados $a < x < b$, 
\[\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \leq \frac{f(x) - f(b)}{x - b}\]
já que a parte do meio sai fazendo $x$ tender a $b$ ou $a$.

Mas, pelo [[derivada:valorMedio|Teorema do valor médio]], existem $y_1, y_2$ tais que $a < y_1 < x < y_2 < b$ tais que
\[f'(y_1) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a}\]
\[f'(y_2) = \frac{f(x) - f(b)}{x - b}.\]

Como $f'$ é crescente, $f'(y_1) \leq f'(y_2)$. <wrap right>$\square$</wrap>

**Corolário** Se $f$ é duas vezes diferenciável então $f''(x) \geq 0$ se, e somente se, $f$ é convexa.

<WRAP info>
Dizemos que $f$ é **côncava** se $-f$ for convexa. 
</WRAP>

**~~#~~** Dê um exemplo de uma função que não seja nem côncava nem convexa.

**Exemplo** Critério de convexidade para quadráticas: Temos que uma função $f(x) = ax^2 + bx + c$ com $a \neq 0$ é convexa se, e somente se $a > 0$. Além disso, ela é côncava se, e somente se, $a < 0$.
 
Note que o "além disso" segue do resultado principal, já que basta multiplicar $f$ por $-1$. Já o resultado principal segue do fato que 
\[f''(x) = (ax^2 + bx + c)'' = (2ax + b)' = 2a\]
e, portanto, $f''(x) > 0$ se, e somente se, $a > 0$. 

**Exemplo** A função $\sen(x)$ é convexa na sua parte negativa e côncava na sua parte positiva.

De fato, $\sen'(x) = \cos(x)$ e, portanto, $\sen''(x) = -\sen(x)$. Daí é só usar o critério.